Feladat: 165. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beke Gyula ,  Tóvárosi Fischer György 
Füzet: 1926/október, 46. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Legnagyobb közös osztó, Műveletek polinomokkal, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1926/május: 165. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mértani haladvány összegképletével:

xkn+x(k-1)n+...+x2n+xn+1=x(k+1)n-1xn-1=x(k+1)n-1x-1:xn-1x-1xk+xk-1...+x2+x+1=xk+1-1x-1.



Eszerint azt kell vizsgálnunk, mikor lesz egész függvény a következő hányados:
x(k+1)n-1x-1:[(xn-1x-1)(xk+1-1x-1)].(1)
A nevező * mindegyik tényezője külön-külön osztója az osztandónak; ha relatív prímek, akkor szorzatuk is osztója az osztandónak. Ha pedig nem relatív prímek, akkor az
xn-1x-1=0ésxk+1-1x-1=0(2)
egyenleteknek van egy közös gyökük, ϵ, és így a nevező osztható (x-ϵ)2-vel. Azonban az
x(k+1)n-1x-1=0(3)
egyenlet gyökei mind különbözők, egyik sem fordul elő kétszer és így, ha a nevező tényezői nem relatív prímek, a felírt hányados nem lehet egész függvénye az x-nek. Ha tehát az (1) egész függvény, a nevező két tényezőjének nem lehet közös osztója. Eszerint, hogy az (1) hányados egész függvény legyen, annak szükséges és elégséges feltétele, hogy a nevező két tényezője relatív prím legyen.

xn-1x-1=0egyenletgyökeiilyenalakúak:cos2rπn+isin2rπn(r=1,2,...n-1)xn-1x-1=0,,,,,,,,cos2rπk+1+isin2rπk+1(s=1,2,...k)   

Az előbb megállapított feltétel már most úgy fogalmazható, hogy a gyökök ezen két sorozatában nem szabad egyenlőknek előfordulniuk. Egyenlő a két sorozatban akkor fordul elő, ha van az r, ill. s számok között olyan, hogy
2rn=2sk+1vagyisr(k+1)=sn.(4)
Más szóval: az r(k+1) szorzat osztható n-nel; de r<n és így kell, hogy k+1 és n számoknak legyen közös osztójuk. Ha k+1 és n számoknak nincs közös osztójuk, akkor a (4) nem állhat fenn és így a szóban forgó (2) alatti egyenleteknek sem lehet közös gyökük; tehát az 1) hányados nevezőjében, a két tényező relatív prím. Kimondhatjuk tehát, hogy a keresett feltétel: k+1 és n relatív prímszámok tartoznak lenni!
 

Beke Gyula (Dugonics András fg. VII. o. Szeged)
Tóvárosi Fischer György (ág. ev. fg. VII. o. Bp.)
*T. i. a szögletes zárójelben foglalt kifejezés.