Feladat: 147. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bakacsi I. ,  Bakos T. ,  Bayer I. ,  Beke B. ,  Beke Gy. ,  Blau Kata ,  Bóday I. ,  Darvas J. ,  Dobroszláv L. ,  Elek T. ,  Fillinger V. ,  Fischer F. ,  Fischer Gy. ,  Fischer Rózsi ,  Füszter I. ,  Füszter István ,  Haimann E. ,  Hajós Gy. ,  Heller G. ,  Henkel Gy. ,  Hirka L. ,  Izr. rg. V. o. Debrecen ,  Kárpáti Gy. ,  Klein Eszter ,  Klein F. ,  Kornhauser J. ,  Kozma A. ,  Lőrincz P. ,  Mischung Ilona ,  Neufeld B. ,  Pál E. ,  Polgár L. ,  Rácz E. ,  Ság M. ,  Schmolka Gy. ,  Sebestyén E. ,  Séra I. ,  Steiner S. ,  Sveiczer M. ,  Szántó L. ,  Tóth István ,  Vámos Gy. (VI. ker.) ,  Wachsberger Márta 
Füzet: 1926/május, 278 - 279. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1926/március: 147. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen BC=a a megadott befogó és ennek vetülete BD=p; az AC befogó vetülete AD=q (adva); tehát a2=p(p+q).

 
 

Ha az AB átfogót AF=p-vel meghosszabbítjuk és BF=2p+q fölött félkört írunk, mely CD meghosszabbítását E-ben metszi, akkor DE2¯=p(p+q), tehát DE=BC=a. A BF átmérőhöz tartozó kör középpontja O egyszersmind az AD=q vetület felező pontja. Ezek alapján a szerkesztés menete ez lesz: az e egyenesre rámérjük az adott q vetületet; ennek egyik végpontjában (D) merőlegest állítunk és erre rámérjük DE=a-t; q felező pontjából, O-ból OE sugárral kört írunk, mely az e egyenest B (ill. F) pontban metszi, ami által AB, az átfogó is meg van határozva.
 

Füszter István (Dobó István főreál VIII. o. Eger)
 

II. Megoldás. Az a2=p(p+q) egyenletben jelentse q egy kör átmérőjét; ha ezen körhöz a hosszúságú érintőt szerkesztünk és ezen érintő végpontjából a kör középpontján átmenő szelőt, ezen szelőnek a körön kívül fekvő szelete lesz p. És p+q a keresett derékszögű háromszög átfogója.
 

Tóth István (Szent Imre főreáliskola VIII. o. Esztergom)
 

III. Megoldás. Az a2=p(p+q) egyenletből
p=-q±q2+4a22=-q2±(q2)2+a2.

A két érték közül csak az egyik, a pozitív felelhet meg. A megoldás alapján elvégezhető a szerkesztés, úgy, mint I.-ben.
 

Fischer Rózsi (izr. leánygimn. VII. o. Bp.)