Kezdőlap


Feladat:	131. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakos T. , Beke B. , Beke Gy. , Bóday I. , Darvas J. , Fillinger Vida , Fischer Gy. , Freund P. , Heller G. , Katona Endre , Mitterdorfer O. , Nagy P. , Oplatka Gy. , Polgár L. , Séra I. , Steiner S. , Stern Gy.
Füzet:	1926/április, 237 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Köréírt alakzatok, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1926/február: 131. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a gömb köré írt kúp alapjának sugara $x$ ; ez meghatározza a kúpot. Ha $r$ a gömb sugara, akkor $x > r$ ; tehát $x$ változik $r$ -től $+ \infty$ -ig. Ha $x = r$ , a kúp csúcsa a végtelenben lesz (nyitott hengerrel van dolgunk).
A kúp magasságát ki kell fejeznünk $r$ és $x$ függvényeként. A kúp tengelymetszete $A B C ▵$ , a gömb sugara $O E = O D = r$ . ^{$^{*}$} Minthogy $C E O ▵ \sim C D B ▵$ és $C E^{2} = {(m - r)}^{2} - r^{2} = m^{2} - 2 m r$ , fennáll a következő aránypár:

\begin{matrix} m : x = \sqrt[]{m^{2} - 2 m r} : r és ebből m = \frac{2 r x^{2}}{x^{2} - r^{2}} . \end{matrix}

Eszerint a kúp térfogata:

V = \frac{x^{2} π m}{3} = \frac{2 r π}{3} \cdot \frac{x^{4}}{x^{2} - r^{2}}

V

'' változása ugyanolyan, mint ezen függvényé:

y = \frac{x^{4}}{x^{2} - r^{2}}

.
Ezen függvény folytonos minden

x > r

értéknél és differenciálhányadosa:

\begin{matrix} y' = \frac{2 x^{3} (x^{2} - 2 r^{2})}{{(x^{2} - r^{2})}^{2}} . \end{matrix}

Minthogy

x > r

, azért

y' = 0

, ha

x = r \sqrt[]{2}

.
Ha

x

növekedik

r

-től

r \sqrt[]{2}

-ig, akkor

y' < 0

, tehát

y

értéke ebben a közben fogy, még pedig

+ \infty

-től

y = 4 R^{2}

-ig. Ha ezután

x

növekedik

r \sqrt[]{2}

-től

+ \infty

-ig, akkor

y' > 0

, tehát

y

értéke

4 R^{2}

-től növekedik

+ \infty

-ig. Tehát

y

értéke minimum, ha

x = r \sqrt[]{2}

és így a kúp térfogatának minimuma:

V_{min.} = \frac{8 π R^{3}}{3}

azaz a gömb térfogatának kétszerese. (A kúp magassága ekkor:

4 r

Katona Endre (izr. rg. VII. o. Bp.)

II. Megoldás. Ha az

\frac{x^{4}}{x^{2} - r^{2}}

függvény számlálóját és nevezőjét

x^{4}

hatvánnyal osztjuk és új változóként

u = \frac{1}{x^{2}}

szerepel, akkor

y = \frac{1}{u - r^{2} u^{2}}

. Ezen függvény értéke minimum lesz, ha a nevező maximális értékét veszi fel, t. i. ha

u = - \frac{1}{2 r^{2}}

, azaz

\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{2 r^{2}}

és ebből

x = r \sqrt[]{2}

Fillinger Vida (Szent Benedekrendi fg. VIII. o. Pannonhalma)

^{$^{*}$}Itt

O

A B C ▵

-be itt kör középpontja,

D

ezen kör érintési pontja az

A B

alapon,

E

pedig a

B C

oldalon.