Feladat: 103. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bakos T. ,  Bóday I. ,  Böhm V. ,  Böhm Viktor ,  Fischer Gy. ,  Hajós Gy. ,  Heller G. ,  Hirka L. ,  Lemberger Klára ,  Mérei I. ,  Nagy P. ,  Polgár L. ,  Séra Imre 
Füzet: 1926/február, 171 - 172. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1925/december: 103. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha a törtet eltávolítjuk, x és y-ra másodfokú egyenletet kapunk, tehát másodrendű görbe vonal: kúpszelet felel meg. Meg kell vizsgálnunk, van-e végtelenbe fekvő pontja.
y=a+bxc+dx alakból kiolvashatjuk, hogyha x=±∞, y=ac; ez annyit jelent, hogy a görbének az x tengellyel párhuzamos y=ac egyenes az asymptotája.
Az eredeti alakból pedig kiolvashatjuk, hogy y=±∞, ha cx+d=0 ill. x=-dc. A görbe másik asymptotája az x tengelyre merőleges x=-dc egyenes.
A görbe tehát: egyenlőszárú hyperbola.
A függvény változásának vizsgálatára számítsuk ki a differenciálhányadosát.

y'=a(cx+d)-c(ax+b)(cx+d)2=ad-bc(cx+d)2.

Eszerint y' állandó előjelű és előjele megegyezik az ad-bc kifejezés előjelével, mert a nevező mindig pozitív.
1) Ha ad-bc>0, akkor a differenciálhányados is pozitív, tehát a függvény állandóan növekedik, de x=-dc helyen a függvénynek szakadása van. A függvény értéke ac-től növekedik +∞-ig, ill. -∞-től ac-ig.
2) Ha ad-bc<0, akkor a differenciálhányados is negatív, tehát a függvény állandóan csökken, még pedig ac-től -∞-ig, ill. +∞-től ac-ig.
3) Ha ad-bc=0, akkor ac=bd=λ és így
y=cλx+dλcx+d=λésy'=0
azaz a függvény értéke x-től független, állandó; megfelelő képe egyenes vonal, mely az x tengellyel párhuzamos.
 

Séra Imre (Madách Imre fg. VIII. o. Bp.)
 

II. Megoldás. Ha a kijelölt osztást elvégezzük;
y=ax+bcx+d=ac-ad-bxc2(x+dc)=ac+y1.

Ebből az alakból már könnyebben kiolvashatjuk a függvény változását, melyre az ac tag nincs befolyással; csak a második tagot: y1-t kell vizsgálnunk. Minthogy c2>0, a nevező változása x változásával egyező jellegű; 1c(cx+d) pedig ellenkező értelemben változik, mint x és így y1=-1c(cx+d) változása ismét x-ével egyező értelemben megy végbe. Ha tehát ad-bc>0, akkor y1 és így y változása x-ével egyező; ha pedig ad-bc<0, akkor pedig x-ével ellenkező értelmű. Ha ad-bc=0, akkor y1=0 és y=ac.
 

Böhm Viktor (kegyesrendi fg. VIII. o. Bp.)
 

Jegyzet. c=0 esetet kizárjuk, mert c=0 esetben elsőfokú függvénnyel van dolgunk. Az egyik megoldásnak azon megállapítása, hogy az itt tárgyalt feladat az 55. gyakorlattal összefügg, helytálló.