|
Feladat: |
103. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bakos T. , Bóday I. , Böhm V. , Böhm Viktor , Fischer Gy. , Hajós Gy. , Heller G. , Hirka L. , Lemberger Klára , Mérei I. , Nagy P. , Polgár L. , Séra Imre |
Füzet: |
1926/február,
171 - 172. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvényvizsgálat, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1925/december: 103. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Ha a törtet eltávolítjuk, és -ra másodfokú egyenletet kapunk, tehát másodrendű görbe vonal: kúpszelet felel meg. Meg kell vizsgálnunk, van-e végtelenbe fekvő pontja. alakból kiolvashatjuk, hogyha , ; ez annyit jelent, hogy a görbének az tengellyel párhuzamos egyenes az asymptotája. Az eredeti alakból pedig kiolvashatjuk, hogy , ha ill. . A görbe másik asymptotája az tengelyre merőleges egyenes. A görbe tehát: egyenlőszárú hyperbola. A függvény változásának vizsgálatára számítsuk ki a differenciálhányadosát. | |
Eszerint állandó előjelű és előjele megegyezik az kifejezés előjelével, mert a nevező mindig pozitív. 1) Ha , akkor a differenciálhányados is pozitív, tehát a függvény állandóan növekedik, de helyen a függvénynek szakadása van. A függvény értéke -től növekedik -ig, ill. -től -ig. 2) Ha , akkor a differenciálhányados is negatív, tehát a függvény állandóan csökken, még pedig -től -ig, ill. -től -ig. 3) Ha , akkor és így azaz a függvény értéke -től független, állandó; megfelelő képe egyenes vonal, mely az tengellyel párhuzamos.
Séra Imre (Madách Imre fg. VIII. o. Bp.) | II. Megoldás. Ha a kijelölt osztást elvégezzük; | |
Ebből az alakból már könnyebben kiolvashatjuk a függvény változását, melyre az tag nincs befolyással; csak a második tagot: -t kell vizsgálnunk. Minthogy , a nevező változása változásával egyező jellegű; pedig ellenkező értelemben változik, mint és így változása ismét -ével egyező értelemben megy végbe. Ha tehát , akkor és így változása -ével egyező; ha pedig , akkor pedig -ével ellenkező értelmű. Ha , akkor és .
Böhm Viktor (kegyesrendi fg. VIII. o. Bp.) | Jegyzet. esetet kizárjuk, mert esetben elsőfokú függvénnyel van dolgunk. Az egyik megoldásnak azon megállapítása, hogy az itt tárgyalt feladat az 55. gyakorlattal összefügg, helytálló. |
|