Kezdőlap


Feladat:	96. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakos T. , Barber P. , Bayer R. , Blau Kata , Bóday I. , Böhm V. , Darvas J. , Elek T. , Erdélyi P. , Fischer Gy. , Haimann E. , Hajós Gy. , Hallóssy Z. , Hirka L. , Klein E. , Mérei I. , Mosonyi L. , Pál E. , Péntek K. , Polgár L. , Ság M. , Sveiczer M. , Szántó L. , Vass B. , Wachsberger M. , Walient G. , Zellhofer I.
Füzet:	1926/január, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/november: 96. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egyenlet baloldalán álló kifejezések tényezőkre bonthatók.

\begin{matrix} (x + y - z) (x - y + z) = a^{2} ... & (1a) \\ (y + z - x) (y - z + x) = b^{2} ... & (2a) \\ (z + x - y) (z - x + y) = c^{2} ... & (3a) \end{matrix}

Legyen már most:

\begin{matrix} Z = x + y - z ... & (I.) \\ Y = x - y + z ... & (II.) \\ X = y + z - x ... & (III.) \end{matrix}

Evvel a helyettesítéssel:

\begin{matrix} Z Y = a^{2} ... & (1b) \\ X Z = b^{2} ... & (2b) \\ Y X = c^{2} ... & (3b) \end{matrix}

Ha (1b)-t szorozzuk (2b)-vel és a szorzatot osztjuk (3b)-vel, lesz

\begin{matrix} Z^{2} = \frac{a^{2} b^{2}}{c^{2}} . Analogiával: X^{2} = \frac{b^{2} c^{2}}{a^{2}}; Y^{2} = \frac{c^{2} a^{2}}{b^{2}} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} Z = \pm \frac{a b}{c}; X = \pm \frac{b c}{a}; Y = \pm \frac{c a}{b} . \end{matrix}

Ezen eredmény úgy értendő, hogy

X

Y

Z

kifejezései vagy mind poz., vagy mind neg. jellel veendő. ^{$^{*}$} Tekintettel az így nyert értékekre, visszatérhetünk az I., II., III.-ra:

\begin{matrix} x + y - z & = \pm \frac{a b}{c} & (I.) \\ x - y + z & = \pm \frac{c a}{b} & (II.) \\ - x + y + z & = \pm \frac{b c}{a} & (III.) \end{matrix}

I. és II.-ből következik, összeadás után:

x = \pm \frac{a (b^{2} + c^{2})}{2 b c}

.
Épp így:

\begin{matrix} y = \pm \frac{b (a^{2} + c^{2})}{2 a c}; z = \pm \frac{c (a^{2} + b^{2})}{2 a b} . \end{matrix}

Blau Kata (áll. leánygimn. VII. o. Szeged)

^{$^{*}$}Az (1b), (2b), (3b) egyenletekből következik! Másféle előjeli kombináció nem lehetséges.