Kezdőlap


Feladat:	94. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakos T. , Blau Kata , Bleier Pál , Bóday I. , Böhm V. , Darvas J. , Erdélyi P. , Fischer F. , Fischer Gy. , Hajós Gy. , Heller G. , Hirka L. , Mitterdorfer O. , Mosonyi L. , Pál E. , Polgár L. , Ság M. , Steiner S. , Szombathy M. , Zellhofer I.
Füzet:	1926/január, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Numerikus és grafikus módszerek, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/november: 94. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$S$ véges geom. haladvány: $S = \frac{x (x^{n} - 1)}{x^{n} (x - 1)}$ .
$Σ$ -t felbontjuk $n$ számú geom. haladvány összegére:

\begin{matrix} Σ = (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + ... + \frac{1}{x^{n}}) + (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + ... + \frac{1}{x^{n}}) + \\ + (\frac{1}{x^{3}} + ... + \frac{1}{x^{n}}) + ... + (\frac{1}{x^{n - 1}} + \frac{1}{x^{n}}) + \frac{1}{x^{n}} \\ Σ = \frac{x^{n} - 1}{x^{n} (x - 1)} + \frac{x^{n - 1} - 1}{x^{n} (x - 1)} + \frac{x^{n - 2} - 1}{x^{n} (x - 1)} + ... + \frac{x^{2} - 1}{x^{n} (x - 1)} + \frac{x - 1}{x^{n} (x - 1)} \\ Σ = \frac{(x^{n} + x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + x^{2} + x) - n}{x^{n} (x - 1)} = \frac{x (x^{n} - 1)}{x^{n} {(x - 1)}^{2}} - \frac{n (x - 1)}{x^{n} {(x - 1)}^{2}} \\ S - (x - 1) Σ = \frac{x (x^{n} - 1)}{x^{n} (x - 1)} - \frac{x (x^{n} - 1) (x - 1)}{x^{n} {(x - 1)}^{2}} + \frac{n {(x - 1)}^{2}}{x^{n} {(x - 1)}^{2}} . \end{matrix}

Ha az egyenlet jobb oldalán a középső tagban egyszerűsítünk, az elsővel megegyezőt kapunk, ellenkező előjellel; marad a harmadik tag, ahol

{(x - 1)}^{2}

-vel egyszerűsíthetünk és így

\begin{matrix} S - (x - 1) Σ = \frac{n}{x^{n}} . \end{matrix}

Ha azt állítjuk, hogy

Σ = \frac{S}{x - 1}

, akkor az elkövetett hiba éppen

\frac{n}{x^{n}}

. Azaz:

\frac{S}{x - 1}

nem egyéb, mint

Σ

közelítő értéke.
Hogy e hibát megbecsüljük

n = 1000

tag esetében, ha

x = 2

, meg kell állapítanunk, milyen rendű szám

2^{1000}

\begin{matrix} 1000 log 2 = 301, 03 ... \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 2^{1000} = 10^{301, 03} ... ill. 10^{301} < 2^{1000} < 10^{302} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} \frac{1000}{10^{302}} < \frac{1000}{10^{301, 03}} < \frac{1000}{10^{301}} . \end{matrix}

A hiba tehát kisebb, mint

10^{- 298}

. (Az első zérustól különböző tizedes jegy a tizedespont után a

299

-ik helyen áll.)

Bleier Pál (Toldy Ferenc főreáliskola VII. o. Bp. II.)