Kezdőlap


Feladat:	85. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Darvas Jenő
Füzet:	1925/december, 128. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvergens sorok, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/október: 85. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hol a hiba? Egész számok összevonásánál tört számhoz jutunk:

\begin{matrix} x = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... in inf. \\ x = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) \\ x = 1 - x; 2 x = 1; x \frac{1}{2}! \end{matrix}

A beérkezett 26 dolgozat közül Darvas Jenő (Zrinyi Miklós rg. VIII. A. o.) dolgozatának első mondata ad megfelelő választ:
,,Már az első sor hibás, amennyiben az adott sor nem konvergens.''
Az egyenlet jobb oldalán álló sor nem konvergens, nem ad határozott értéket; tehát nem is lehet vele úgy bánni; mint egy bizonyos, meghatározott

x

számmal!
A kérdéses sort nemcsak úgy foghatjuk fel, mint a geometriai haladvány egy esetét, amidőn t.i.

q = - 1

, hanem általában, mint két végtelen, széttartó sorkülőnbségét, t.i.

(1 + 1 + 1 + ...) - (1 + 1 + 1 + ...) = \infty - \infty

Ha a tagokat más rendezésban adjuk össze, végtelent is kaphatunk;
pl:

(1 + 1 - 1) + (1 + 1 - 1) + (1 + 1 - 1) + ...

és így tovább a végtelenig.
Ilyen módon bármely nagy számnál is nagyobbat kaphatunk!
A feladatban követett eljárás helyén lehet akkor, ha konvergens sorral van dolgunk. Így pl. Bernoulli Jakabnál ezt találjuk:

\begin{matrix} x & = \sqrt[]{a \sqrt[]{a \sqrt[]{a ...}}}; & x^{2} = a \sqrt[]{a \sqrt[]{a \sqrt[]{a ...}}} \\ x^{2} & = a x & x = a . \end{matrix}

T. i.

\begin{matrix} x = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...} = a . \end{matrix}

A végtelen sorok összetartási feltételeivel először Cauchy foglalkozott behatóbban. Mesélik, hogy midőn Cauchy a francia akadémián előadta az erre vonatkozó vizsgálatainak az eredményét, Laplace felindulva és kétségbeesve távozott T. i. a ,,Mécanique céleste'' c. nagy csillagászati művében sok végtelen sorral dolgozik. Egy teljes hónapig bezárkózott és nem jelent meg sehol, amíg ki nem derítette, hogy jogosan használta a végtelen sorokat, mert összetartóak.
Ábeltől származik az a megjegyzés, hogy széttartó végtelen sorokkal mindent ki lehet mutatni, azt is, a mi lehetséges, azt is, ami nem lehetséges.