Kezdőlap


Feladat:	84. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blau K. , Böhm V. , Hajós Gy. , Mischung Ilona , Mitterdorfer Ottó
Füzet:	1925/december, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Kombinációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/október: 84. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. $n$ elemnek $k$ -ad osztályú kombinációinak száma ‐ ismétlés nélkül $(\binom{n}{k})$ . Ezeket a kombinációkat csoportokba oszthatjuk. Ugyanis ‐ természetes sorrendben fűzve az elemeket ‐ $k$ -d osztályú csoport utolsó eleme $k$ , vagy $k + 1, k + 2, ... (n - 1), n$ . Azon csoportok száma, melyekben az utolsó helyen $k$ áll, $(\binom{k - 1}{k - 1})$ mert $k - 1$ helyre csak a $k$ -nál alacsonyabb $k - 1$ számú elemet helyezhetjük. Azon csoportok száma, melyekben az utolsó helyen $k + 1$ áll: $(\binom{k}{k - 1})$ , mert $k - 1$ -d osztályú csoportokat kelt hozzáfűznünk a $k + 1$ -nél alacsonyabb $k$ számú elemből. Azon csoportok száma, melyekben $k + 2$ áll az utolsó helyen: $(\binom{k + 1}{k - 1})$ mert $k + 2$ -höz $k - 1$ -d oszt. csoportokat kell hozzáfűznünk a $k + 2$ -nél alacsonyabb $k + 1$ számú elemből s. i. t. Végül, ha utolsó helyen $n$ áll, akkor $n - 1$ elemből kell $k - 1$ -d oszt. csoportokat eléje helyeznünk és ezeknek száma: $(\binom{n - 1}{k - 1})$

Mitterdorfer Ottó (kegyesrendi fg. VIII. B. Bp.).

II. Megoldás. Minthogy

(\binom{k - 1}{k - 1}) = (\binom{k}{k})

, a Pascal-tétel szerint

\begin{matrix} (\binom{k - 1}{k - 1}) + (\binom{k}{k - 1}) = (\binom{k}{k}) + (\binom{k}{k - 1}) = (\binom{k + 1}{k}) . \end{matrix}

Ugyancsak

\begin{matrix} (\binom{k + 1}{k}) + (\binom{k + 1}{k - 1}) = (\binom{k + 2}{k}); (\binom{k + 2}{k}) + (\binom{k + 2}{k - 1}) = (\binom{k + 3}{k}) s. i. t. \end{matrix}

Ha az összeadást így fokozatosan elvégezzük,

(\binom{n}{k})

-t fogunk kapni összeg gyanánt.

Mischung Ilona (áll. leánygimnázium VII. o. Szeged).