Kezdőlap


Feladat:	80. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakos T. , Barber P. , Bleyer F. , Bóday I. , Böhm V. , Darvas J. , Fillinger V. , Fischer Ferenc , Fischer Gy. , Freund P. , Hajós Gy. , Hallósy Z. , Heller G. , Hirka L. , Jánky K. , Klein E. , Mischung I. , Ság M. , Séra I. , Steiner S. , Szekeres H.
Füzet:	1925/december, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Vektorok skaláris szorzata, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/október: 80. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Ha a feltételt kifejező két egyenlet megfelelő oldalain álló tagokat összeszorozzuk:

\begin{matrix} a_{1}^{2} a_{2}^{2} + a_{1}^{2} b_{2}^{2} + a_{2}^{2} b_{1}^{2} + a_{2}^{2} b_{2}^{2} = 1 ... \end{matrix}

(1)

A baloldalhoz adjunk

2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} - 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2}

különbséget; megfelelően rendezve az összetartozó részeket:

\begin{matrix} (a_{1}^{2} a_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} + b_{1}^{2} b_{2}^{2}) + (a_{1}^{2} b_{2}^{2} - 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} + a_{2}^{2} b_{1}^{2}) = 1 ... \end{matrix}

(2)

azaz

\begin{matrix} {(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2})}^{2} + {(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})}^{2} = 1 ... \end{matrix}

(3)

A (3) egyenletből világosan látható, minthogy

{(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})}^{2} \geq 0

, hogy

\begin{matrix} {(a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2})}^{2} \leq 1 tehát | a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} | \leq 1. \end{matrix}

2^{\circ}

. Geometriailag

a

és

b

jelenthetik egy szög sinusát és cosinusát

a_{1} = sin α_{1}

b_{1} = cos α_{1}

;

a_{2} = sin α_{2}

b_{2} = cos α_{2}

és így

\begin{matrix} a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = cos α_{1} cos α_{2} + sin α_{1} sin α_{2} = cos (α_{1} - α_{2}) . \end{matrix}

Természetesen

| cos (α_{1} - α_{2}) | \leq 1.

Az egyenlőségi jel akkor áll fenn, ha

a_{1} = a_{2}

és

b_{1} = b_{2}

, tehát ha

α_{1} = α_{2}

(vagy

α_{1} = α_{2} + 2 k π

Fischer Ferenc (áll. főreál VIII. o. Eger).

NB. Nehány dolgozatban az itt tárgyalt összefüggések geometriai jelentését a Ptolemäus-tétellel világítják meg. Ha t. i.

a_{1}

b_{1}

valamely, az egység átfogóval bíró derékszögű háromszög befogói,

a_{2}

és

b_{2}

ugyancsak ilyenek, akkor a két derékszögű háromszög egymással szembe helyezhető úgy, hogy húrnégyszöget kapunk, melynek szemben fekvő oldalai

a_{1}

és

a_{2}

, ill.

b_{1}

és

b_{2}

egyik átlója az egység ‐ a kör átmérője ‐ a másik átlója ezen kör valamely húrja, amely tehát az egységnél nem lehet nagyobb. A nevezett tétel szerint ekkor valóban

a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} \leq 1

. Csakhogy ennek a beállításnak kizárólag poz. értékek esetében van értelme.

Sz.