Feladat: 75. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kárteszi Ferenc ,  Steiner S. 
Füzet: 1925/december, 111 - 112. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1925/október: 75. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen ABCD≡T és A'B'C'D'≡T' a két tetraéder; S az a pont, amelyben a T-nek A, B, C, D csúcsaiból a T'-nek B'C'D', C'D'A', D'A'B', A'B'C' oldal lapjaira bocsátott merőlegesek egymást metszik.
1∘. Kimutatjuk elsősorban, hogy a T bármelyik éle a T' valamelyik élére merőleges.
Ugyanis a feltétel szerint AS⊥B'C'D' és BS⊥C'D'A', tehát az ABS sík merőleges a B'C'D' és C'D'A' síkokra, ennélfogva ezeknek metszővonalára: C'D'-re és így a T-nek AB éle merőleges T'-nek C'D' élére. Épp így: BC⊥D'E' stb.
2∘. Ha már most a C' pontból az ABD síkra, D'-ből az ABC síkra merőlegeseket állítunk, ezek egy pontban metszik egymást (L. ,,A tetraéderről'' szóló cikk 4-ik tételét.) Tehát a T'-nek bármelyik két csúcsából a T-nek megfelelő két oldallapjára bocsátott merőlegesek egymást páronként metszik; az így nyert négy merőleges ugyanazon pontban, S'-ben metszi egymást, mivelhogy bármelyik három nem fekszik egy síkban. ‐ Evvel a tétel első része bizonyítást nyert.
3∘. A T és T' tetraéder megfelelő oldallapjai, pl. ABC▵ és A'B'C'▵ a 61. feladatban kifejezett helyzettel bírnak. Ugyanis: az ADS sík merőleges a B'C' oldalra; mert a mint 1∘-ben láttuk, B'C'⊥AD, a feltételnél fogva pedig
DS⊥[A'B'C'], tehát DS⊥B'C' és így B'C' az ADS sík két egyenesére, ennélfogva magára a síkra is merőleges. Hasonlóan BDS⊥CA' és CDS⊥A'B'. Eszerint az ABC▵-nek A, B, C csúcsaiból az A'B'C'▵-nek B'C', C'A', A'B' oldalaira bocsátott merőleges síkok egy egyenesben: DS-ben metszik egymást. Ha S a tetraéder súlypontja, akkor DS az ABC▵ súlypontján megy keresztül.* (Tehát a 61. feladat értelmében az A', B', C' csúcsokból a BC, CA, AD oldalakra bocsátott merőleges síkok)* is oly D'S' egyenesben metszik egymást, mely az A'B'C'▵ súlypontján megy keresztül, tehát D'S' a T' egyik súlyvonala. Ezen az úton haladva látható, hogy A'S', B'S' és C'S' egyenesek a T' súlyvonalai, melyek tehát a T súlypontján: S-n mennek keresztül.

 

Kárteszi Ferenc, bölcsészethallgató.

 
Jegyzet. Ha e feladatban jellemzett helyzettel bíró két tetraéder összeesik (A≡A1 stb.), akkor a tétel első része, mint speciális esetet, azt fejezi ki, hogy a tetraéder magasságvonalai akkor és csak akkor mennek egy ponton keresztül, ha a szemközti élek egymásra merőlegesek.
 

Kárteszi Ferenc.
*DS, a tetraéder egyik súlyvonala, a D csúcsot az ABC▵ súlypontjával köti össze.

*A'D'S' sík ⊥BC, mert A'D'⊥BS és D'S'⊥[ABC], tehát D'S'⊥BC.