Kezdőlap


Feladat:	57. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fischer Gy. , Geiringer F. , Heller Gábor , Macz F. , Polgár L.
Füzet:	1925/október, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Műveletek polinomokkal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/május: 57. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az osztást elvégezzük, a hányados: $x^{2} - p x + p^{2} - q$ , a maradék pedig: $(2 p q - p^{3}) x + q^{2} - q p^{2} + 1$ .
A maradék $x$ minden értéke mellett csak akkor zérus, ha

\begin{matrix} 2 p q - p^{3} = 0 ... & (1) \\ és & q^{2} - q p^{2} + 1 = 0 ... & (2) \end{matrix}

(1) Így is írható

p (2 q - p^{2}) = 0

. A tényezők egyike zérus.
a) Ha

p = 0

, akkor (2)-ből

q^{2} + 1 = 0

nem ad valós értéket.
b)

2 q = p^{2}

(2)-be helyettesítve

- q^{2} + 1 = 0

, tehát

q = \pm 1

. Minthogy

q = - 1

esetben

p^{2} = - 2

lenne, nem kapunk valós tényezőket. Marad tehát

q = + 1

és

p = \pm \sqrt[]{2}

. Mindkét esetben:

\begin{matrix} x^{4} + 1 = (x^{2} + x \sqrt[]{2} + 1) (x^{2} - x \sqrt[]{2} + 1) . \end{matrix}

Heller Gábor (ev. főgimn. VII. o. Bp.)