Feladat: 56. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ambrus Gy. ,  Bakos Tibor ,  Bóday I. ,  Fillinger V. ,  Geiringer F. ,  Kárteszi F. ,  Macz Ferenc ,  Perényi A. 
Füzet: 1925/október, 52. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Összefüggések binomiális együtthatókra, Kombinatorikai leszámolási problémák, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1925/május: 56. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Láttuk már, 1 hogyha k=2,3,4, a megoldások száma (n+11), ill. (n+22), ill. (n+33). Hogy a megoldások száma általában (n+k-1k-1) alakban írható, teljes indukcióval igazolhatjuk.
Legyen tehát az ismeretlenek száma k+1.

 


xk+1=0esetbenx1+x2+...+xk=n;megoldásokszáma(n+k-1k-1)xk+1=1,,x1+x2+...+xk=n-1;,,,,(n+k-2k-1)xk+1=2,,x1+x2+...+xk=n-2;,,,,(n+k-3k-1)xk+1=n-1,,x1+x2+...+xk=1;,,,,(n+k-nk-1)=(kk-1)xk+1=n,,x1+x2+...+xk=0;,,,,(k-1k-1)   
 

A megoldások összes száma:
(k-1k-1)+(kk-1)+(k+1k-1)+...+(n+k-3k-1)+(n+k-2k-1)+(n+k-1k-2)==1(k-1)[123...(k-1)+234...k+345...(k+1)+...+n(n+1)...(n+k-2)+..+(n+1)(n+2)...(n+k-1)]


A nagy zárójelben foglalt összeg a 20. sz. feladat mintájára az
(n+1)(n+2)...(n+k)k(n+1)(n+2)...(n+k-1)+n(n+1)(n+2)...(n+k-1)
azonosság alapján határozható meg és értéke:
(n+1)(n+2)(n+3)...(n+k)k
Ha a nevezőt az előbb kiemelt (k-1)! tényezővel szorozzuk, a kifejezés (n+kk) alakot vesz fel; ez tehát megmutatja, hogy amennyiben k ismeretlen esetében (n+k-1k-1) kifejezi a megoldások számát, k+1 ismeretlen esetében ugyanúgy kapjuk meg a megoldások számát. Mivel k=2,3,4 esetben láttuk a meghatározás helyes voltát, tehát helyes marad minden esetben.
 

Macz Ferenc (egri áll. főreáliskola VIII. o.)

1L. 4. gyak. (I. évf. 50. oldal), 1. feladat (I. évf. 55.) és 21. feladat (I. évf. 85. oldal).