Kezdőlap


Feladat:	56. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ambrus Gy. , Bakos Tibor , Bóday I. , Fillinger V. , Geiringer F. , Kárteszi F. , Macz Ferenc , Perényi A.
Füzet:	1925/október, 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Kombinatorikai leszámolási problémák, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/május: 56. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Láttuk már, ¹ hogyha $k = 2, 3, 4$ , a megoldások száma $(\binom{n + 1}{1})$ , ill. $(\binom{n + 2}{2})$ , ill. $(\binom{n + 3}{3})$ . Hogy a megoldások száma általában $(\binom{n + k - 1}{k - 1})$ alakban írható, teljes indukcióval igazolhatjuk.
Legyen tehát az ismeretlenek száma $k + 1$ .

\begin{matrix} x_{k + 1} = 0 & esetben & x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n; & megoldások & száma & (\binom{n + k - 1}{k - 1}) \\ x_{k + 1} = 1 & ,, & x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n - 1; & ,, & ,, & (\binom{n + k - 2}{k - 1}) \\ x_{k + 1} = 2 & ,, & x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n - 2; & ,, & ,, & (\binom{n + k - 3}{k - 1}) \\ x_{k + 1} = n - 1 & ,, & x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = 1; & ,, & ,, & (\binom{n + k - n}{k - 1}) = (\binom{k}{k - 1}) \\ x_{k + 1} = n & ,, & x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = 0; & ,, & ,, & (\binom{k - 1}{k - 1}) \end{matrix}

A megoldások összes száma:

\begin{matrix} (\binom{k - 1}{k - 1}) + (\binom{k}{k - 1}) + (\binom{k + 1}{k - 1}) + ... + (\binom{n + k - 3}{k - 1}) + (\binom{n + k - 2}{k - 1}) + (\binom{n + k - 1}{k - 2}) = \\ = \frac{1}{(k - 1)} [1 \cdot 2 \cdot 3 ... (k - 1) + 2 \cdot 3 \cdot 4 ... k + 3 \cdot 4 \cdot 5 ... (k + 1) + ... + n (n + 1) ... (n + k - 2) + . \\ . + (n + 1) (n + 2) ... (n + k - 1)] \end{matrix}

A nagy zárójelben foglalt összeg a 20. sz. feladat mintájára az

\begin{matrix} (n + 1) (n + 2) ... (n + k) \equiv k (n + 1) (n + 2) ... (n + k - 1) + n (n + 1) (n + 2) ... (n + k - 1) \end{matrix}

azonosság alapján határozható meg és értéke:

\begin{matrix} \frac{(n + 1) (n + 2) (n + 3) ... (n + k)}{k} \end{matrix}

Ha a nevezőt az előbb kiemelt

(k - 1)!

tényezővel szorozzuk, a kifejezés

(\binom{n + k}{k})

alakot vesz fel; ez tehát megmutatja, hogy amennyiben

k

ismeretlen esetében

(\binom{n + k - 1}{k - 1})

kifejezi a megoldások számát,

k + 1

ismeretlen esetében ugyanúgy kapjuk meg a megoldások számát. Mivel

k = 2, 3, 4

esetben láttuk a meghatározás helyes voltát, tehát helyes marad minden esetben.

Macz Ferenc (egri áll. főreáliskola VIII. o.)

¹L. 4. gyak. (I. évf. 50. oldal), 1. feladat (I. évf. 55.) és 21. feladat (I. évf. 85. oldal).