Feladat: 35. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bakos T. ,  Barcza Gy. ,  Geiringer F. ,  Kárteszi F. ,  Macz Ferenc 
Füzet: 1925/szeptember, 16 - 17. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Magasságpont, Térelemek és részeik, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1925/április: 35. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen AB⊥CD és AC merőleges az előbbiekre. Az AC-vel szemben fekvő BD él M pontján át fektessünk S síkot, mely BD-re merőleges. Ezen sík az AB, CD, AC éleket P, Q, R pontokban metszi.

 
 

QR-t, az S és ACD síkok metszésvonalát MP, az S és ABD sík közös vonala P'-ben metszi. PR-t, az S és ABC síkok metszésvonalát MQ, az S és BCD síkok közös vonala a DC él Q' pontjában metszi. Azt kell már most kimutatnunk, hogy PP'⊥QR és QQ'⊥PR azaz PP' és QQ' a PQR háromszög magasság vonalai.
1∘. BD⊥S, tehát S sík minden egyenese is és így QR⊥BD. Másrészt AB⊥ACD, tehát ACD sík minden egyenese és így QR⊥AB. Eszerint QR⊥ABD és ezért QR merőleges az ABD sík bármely egyenesére: QR⊥PP'.
2∘. Minthogy CD⊥ABC, azért ABC sík ⊥BCD. Mivel pedig BD⊥S, a BD-n átfektetett BCD sík is ⊥S síkra. Ha két sík (ABC és S) merőleges egy harmadikra (BCD), akkor a két sík metszésvonala, azaz PR is merőleges a BCD síkra és így PR⊥QQ'. Minthogy PP' és QQ' magasságvonalak közös pontja M, tételünk bizonyítva van.
 

Macz Ferenc (egri áll. főreál VIII. o.)