Kezdőlap


Feladat:	32. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakos T. , Bóday István , Perényi A.
Füzet:	1925/május, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Koszinusztétel alkalmazása, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/március: 32. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $S B = x$ , $S C = y$ . Minthogy $cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ , Carnot tételével

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} & = a^{2} + x^{2} - a x & (1) \\ {\bar{A C}}^{2} & = a^{2} + y^{2} - a y & (2) \\ {\bar{B C}}^{2} & = x^{2} + y^{2} - x y & (3) \end{matrix}

Mivel pedig

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

az (1), (2), (3) egyenletekben foglalt kifejezések helyettesítése és rendezés után:

\begin{matrix} x y - a (x + y) + 2 a^{2} = 0 \end{matrix}

(4)

Fektessük a gúlát az

S B C

lapjára, úgy, hogy ez legyen az alap. Az

A

-ból

S B C

-re bocsátott merőleges úgy fogható fel, mint oly szabályos tetraéder magassága, melynek éle

S A = a

. Ez a magasság tehát

a \sqrt[]{\frac{2}{3}}

; mivel pedig

S B C ▵

területe

= \frac{x y sin 60^{\circ}}{2} = \frac{x y \sqrt[]{3}}{4}

, lesz

\frac{1}{3} \cdot \frac{x y \sqrt[]{3}}{4} \cdot a \sqrt[]{\frac{2}{3}} = b^{3}

és ebből

\begin{matrix} x y = \frac{12}{\sqrt[]{2}} \cdot \frac{b^{3}}{a} = 6 \sqrt[]{2} \frac{b^{3}}{a} \end{matrix}

(5)

(4) és (5) alapján

\begin{matrix} x + y = \frac{(6 b^{3} + a^{3} \sqrt[]{2}) \sqrt[]{2}}{a^{2}} \end{matrix}

(6)

E szerint

x

és

y

gyökei a következő másodfokú egyenletnek:

\begin{matrix} a^{2} z^{2} - 2 (a^{3} + 3 b^{3} \sqrt[]{2}) z + 6 a b^{3} \sqrt[]{2} = 0 \end{matrix}

(7)

Ezen (7) egyenlet discriminánsa:

a^{6} + 18 b^{6} > 0

tehát mindig van valós megoldása.

z_{1} = x

;

z_{2} = y

vagy megfordítva; e szerint csak egy megoldás van.

Bóday István (premontrei főgimn. VII. o. Szombathely)