Kezdőlap


Feladat:	19. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ambrus Gy. , Bayer I. , Csillag P. , Kárteszi F. , Macz F. , Perényi A. , Spitz I. , Tisza László , Weisz M.
Füzet:	1925/május, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Összefüggések binomiális együtthatókra, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/március: 19. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A második sor $n$ -dik tagja $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n (n + 1)}$ . A harmadik sor $n$ -dik tagja $\frac{n}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{1 \cdot 2}{n (n + 1) (n + 2)}$ .
A negyedik sor $n$ -dik tagja

\begin{matrix} \frac{2}{n (n + 1) (n + 2)} - \frac{2}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} . \end{matrix}

Az egymásután következő sorokban a megfelelő helyen álló tagokat ugyanígy képezve, a

k

-dik sor

n

-dik tagja:

\begin{matrix} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 ... (k - 1)}{n (n + 1) (n + 2) ... (n + k - 1)} & = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 ... (k - 1) k}{n (n + 1) (n + 2) ... (n + k - 1) k} = \\ = \frac{1}{k \frac{n (n + 1) (n + 2) ... (n + k - 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 ... (k - 1) k}} & = \frac{1}{k (\binom{n + k - 1}{k})} \end{matrix}

(\binom{n + k - 1}{k})

mindig természetes szám; az első állítás tehát bizonyítást nyert. ¹
b) A

k

-dik sor tagjai e szerint így írhatók, ha t. i.

n

helyébe 1, 2,

...

n

kerül:

\begin{matrix} \frac{1}{k}, \frac{1}{k (\binom{k + 1}{k})}, \frac{1}{k (\binom{k + 2}{k})}, ... \frac{1}{k (\binom{k + n - 1}{k})} ... \end{matrix}

k

-dik oszlop tagjait kapjuk, ha az

\frac{1}{k (\binom{n + k - 1}{k})}

kifejezésben

n

helyett mindenütt

k

-t, viszont

k

helyébe 1, 2, 3

...

n

-t teszünk. E szerint a

k

-dik oszlop tagjai:

\begin{matrix} \frac{1}{k}, \frac{1}{2 (\binom{k + 1}{2})}, \frac{1}{3 (\binom{k + 2}{3})}, ... \frac{1}{n (\binom{k + n - 1}{n})} ... \end{matrix}

Ki kell mutatnunk, hogy

k (\binom{k + n - 1}{k}) = n (\binom{k + n - 1}{n})

. Hivatkozással arra, hogy

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

, írhatjuk, hogy:

\begin{matrix} k (\binom{k + n - 1}{k}) = \frac{k \cdot (k + n - 1)!}{k! (n - 1)!} = \frac{(k + n - 1)!}{(k - 1)! (n - 1)!} \\ n (\binom{k + n - 1}{n}) = \frac{n (k + n - 1)!}{n! (k - 1)!} = \frac{(k + n - 1)!}{(n - 1)! (k - 1)!} . \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy a b) állítás is igazolva van!

Tisza László (Mátyás király rg. VIII. o. Bp. II.)

¹Teljes indukcióval kimutathatjuk, hogy mivel e képezés szabálya igaz

k

-ra, igaz

k + 1

-re is, tehát igaz általában is.