Kezdőlap


Feladat:	14. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gy. , Bakos T. , Barcza Gy. , Bóday I. , Bohus I. , Freund P. , Heller G. , Krénusz A. , Macz F. , Perényi A. , Schäffer I. , Spitz I. , Tisza László , Weisz M. , Wessel I.
Füzet:	1925/április, 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/február: 14. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sinus-tételből eredő Mollweide-egyenletek szerint:

\begin{matrix} \frac{b + c}{a} = \frac{cos \frac{β - γ}{2}}{sin \frac{α}{2}} ... \end{matrix}

(*)

és

\begin{matrix} \frac{b - c}{a} = \frac{cos \frac{β - γ}{2}}{sin \frac{α}{2}} ... \end{matrix}

(*)

1)-ből következik:

\begin{matrix} \frac{1}{{(b + c)}^{2}} = \frac{{sin}^{2} \frac{α}{2}}{a^{2} {cos}^{2} \frac{β - γ}{2}} ... \end{matrix}

(*)

2)-ből következik:

\begin{matrix} \frac{1}{{(b - c)}^{2}} = \frac{{cos}^{2} \frac{α}{2}}{a^{2} {sin}^{2} \frac{β - γ}{2}} ... \end{matrix}

(*)

\frac{β - γ}{2} = 45^{\circ}

, tehát

{sin}^{2} \frac{β - γ}{2} = {cos}^{2} \frac{β - γ}{2} = \frac{1}{2}

. Helyettesítve ezeket és 3)-t 4)-hez adva

\begin{matrix} \frac{1}{{(b + c)}^{2}} + \frac{1}{{(b - c)}^{2}} = \frac{2 ({sin}^{2} \frac{α}{2} + {cos}^{2} \frac{α}{2})}{a^{2}} ... \end{matrix}

(*)

Mivel

{sin}^{2} \frac{α}{2} + {cos}^{2} \frac{α}{2} = 1

, lesz

\begin{matrix} \frac{1}{{(b + c)}^{2}} + \frac{1}{{(b - c)}^{2}} = \frac{2}{a^{2}} . \end{matrix}

Tisza László (II. Mátyás király rg. VIII. o.)