$x^3+a\left(1-a\right)x-a^2\equiv \left(x-a\right)\left(x^2+ax+a\right)$, tehát az adott egyenlet két gyökét az $x^2+ax+a=0$ egyenlet szolgáltatja. Ezen egyenlet gyökei valósak, ha discriminansa: $a^2-4a\geqq 0$. Már pedig $a^2-4a=a\left(a-4\right)\ge 0$, ha $a\leqq 0$ vagy $a\geqq 4$.
${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle \text{Ha}}\hfill & {\displaystyle a<\mathrm{0,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{akkor}}\hfill & {\displaystyle \text{a gyökök ellenkező előjelűek.}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mathrm{,,}}\hfill & {\displaystyle a=\mathrm{0,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \mathrm{,,}}\hfill & {\displaystyle x_1=x_2=0.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mathrm{,,}}\hfill & {\displaystyle a=\mathrm{4,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \mathrm{,,}}\hfill & {\displaystyle x_1=x_2=-4.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mathrm{,,}}\hfill & {\displaystyle a>\mathrm{4,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \mathrm{,,}}\hfill & {\displaystyle \text{mind a két gyök negatív.}}\hfill \end{array}}$