Kezdőlap


Feladat:	454. matematika ábrázoló geometria feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bauer János , Bizám György , Csáki Frigyes , Kovács I. , Margulit György , Máté I. , Sándor Gyula , Steiner Iván
Füzet:	1939/február, 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Ábrázoló geometria, Geometriai transzformációk, Térgeometriai számítások trigonometriával
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 454. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $x_{12}$ és $x_{14}$ szöge $α$ , $x_{14}$ és $x_{45}$ szöge pedig $β$ . A kocka élhossza $a$ .

Az ábrából látható,

\begin{matrix} \begin{matrix} hogy {\bar{12}}^{IV} & = a \cdot cos α \\ és {\bar{14}}^{IV} & = a \cdot sin α \\ míg {\bar{15}}^{V} & = a \end{matrix}} \end{matrix}

(1)

Hasonlóképen

\begin{matrix} {({\bar{12}}^{V})}^{2} = {({\bar{12}}^{IV} cos β)}^{2} + {(a \cdot sin α)}^{2}, \end{matrix}

(2)

mivel az

1

és

2

pontok ötödik rendezőinek különbsége a transzformáció szabálya szerint az

x_{14}

-re vonatkoztatott első rendezők különbségével egyenlő.

\begin{matrix} \begin{matrix} Továbbá & {({\bar{14}}^{V})}^{2} & = {({\bar{14}}^{IV} \cdot cos β)}^{2} + {(a cos α)}^{2} \\ és & {\bar{15}}^{V} & = {\bar{15}}^{IV} \cdot sin β \end{matrix}} \end{matrix}

(3)

Az 1), 2) és 3) egyenletekből:

\begin{matrix} {({\bar{12}}^{V})}^{2} + {({\bar{14}}^{V})}^{2} + {({\bar{15}}^{V})}^{2} & = a^{2} cos^{2} α \cdot cos^{2} β + a^{2} sin^{2} α + a^{2} sin^{2} α \cdot cos^{2} β + \\ + a^{2} cos^{2} α + a^{2} sin^{2} β & = a^{2} (sin^{2} α + cos^{2} α) + a^{2} cos^{2} β (sin^{2} α + cos^{2} α) + a^{2} sin^{2} β = \\ = a^{2} + a^{2} (cos^{2} β + sin^{2} β) \\ {({\bar{12}}^{V})}^{2} + {({\bar{14}}^{V})}^{2} + {({\bar{15}}^{V})}^{2} & = 2 a^{2} . \end{matrix}

Bizám György (Bolyai g. VII. r. o. Bp. V.)