Kezdőlap


Feladat:	452. matematika ábrázoló geometria feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György
Füzet:	1939/február, 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ábrázoló geometria, Háromszögek szerkesztése, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Kúpok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 452. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszöget ‐ helyzetétől eltekintve ‐ meg tudjuk szerkeszteni. Ha u.i. a $ϱ$ sugarú kör középpontja $L$ és érintési pontja a $\bar{B C}$ oldalon $A_{1}$ , akkor

\begin{matrix} A_{1} B = \frac{ϱ}{tg \frac{β}{2}} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{s}} : \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{s (s - b)}} . \end{matrix}

\bar{A_{1} B} = s - b ... 1)

Hasonlóképen

\bar{A_{1} C} = s - c

E két távolságot a következő összefüggésekből kapjuk meg:

\begin{matrix} (s - b) \cdot (s - c) = \frac{s (s - a) (s - b) (s - c)}{s (s - a)} = \frac{t^{2}}{s (s - a)} = \frac{t}{s} \cdot \frac{t}{s - a} = ϱ \cdot ϱ_{a} \end{matrix}

\begin{matrix} | \begin{matrix} (s - b) (s - c) & = ϱ \cdot ϱ_{a} \\ (s - c) - (s - b) & = (b - c) \end{matrix} | \begin{matrix} 2) \\ 3) \end{matrix} \end{matrix}

Ha azonban két távolság szorzatát és különbségét ismerjük, e távolságokat meg is tudjuk szerkeszteni.
Először megszerkesztjük

\sqrt[]{(s - b) (s - c)} = \sqrt[]{ϱ \cdot ϱ_{a}}

-t.
Azután olyan derékszögű háromszöget szerkesztünk, melynek

\sqrt[]{ϱ \cdot ϱ_{a}}

az egyik és

\frac{b - c}{2}

a másik befogója. Az átfogó

r = \frac{a}{2}

és

\begin{matrix} r - \frac{b - c}{2} = s - b, r + \frac{b - c}{2} = s - c . \end{matrix}

A keresett térbeli háromszög síkja egy olyan kúp érintősíkja, melynek csúcsa

A

, tengelye az adott síkra merőleges és alkotójának hossza az

A B C △

m_{a}

magassága.

Bizám György (Bolyai g. VII. r. o. Bp. V.)