Feladat:	451. matematika ábrázoló geometria feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György
Füzet:	1939/január, 134 - 135. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Ábrázoló geometria, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Hozzáírt körök, Beírt kör, Tengely körüli forgatás, Háromszögek szerkesztése
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 451. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Ha a háromszög síkja mindkét képsíkkal egyenlő szöget zár be, akkor a sík merőleges az egyik szögfelező síkra. Így a nyomvonalak az $AD$ egyenes nyompontjain át könnyen megszerkeszthetők. A síkot egyik nyomvonala körül a képsíkba forgatva kell először a háromszöget megszerkeszteni.     Legyen a $\varrho$ sugarú kör középpontja $L$, akkor ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle c:\text{sin}\left({90}^{\circ }+\frac{\gamma }{2}\right)=\overline{AL}:\text{sin}\frac{\beta }{2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \overline{AL}=c\frac{\text{sin}\frac{\beta }{2}}{\text{sin}\left({90}^{\circ }+\frac{\gamma }{2}\right)}=c\frac{\text{sin}\frac{\beta }{2}}{\text{cos}\frac{\gamma }{2}}\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\end{array}}$ Másrészt ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \overline{BD}:\text{sin}\left({90}^{\circ }-\frac{\gamma }{2}\right)=\overline{DL}:\text{sin}\frac{\beta }{2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \overline{DL}=\overline{BD}\frac{\text{sin}\frac{\beta }{2}}{\text{sin}\left({90}^{\circ }-\frac{\gamma }{2}\right)}=\overline{BD}\frac{\text{sin}\frac{\beta }{2}}{\text{cos}\frac{\gamma }{2}}\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ Ámde ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \overline{BD}:\overline{CD}=c:b\text{és}\overline{BD}:a=c:\left(b+c\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle BD=\frac{a\cdot c}{b+c}\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$ 2) és 3)-ból $\begin{array}{c}{\displaystyle DL=\frac{ac}{b+c}\cdot \frac{\text{sin}\frac{\beta }{2}}{\text{cos}\frac{\gamma }{2}}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) 1) és 4)-ből ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \overline{AL}:\overline{DL}=c\frac{\text{sin}\frac{\beta }{2}}{\text{cos}\frac{\gamma }{2}}:\frac{ac}{b+c}\cdot \frac{\text{sin}\frac{\beta }{2}}{\text{cos}\frac{\gamma }{2}}\mathrm{.}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \overline{AL}:\overline{DL}=\left(b+c\right):a\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\end{array}}$ Ezen aránypár második része azonban a sugarakból is nyerhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \varrho =\frac{t}{s}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle {\varrho }_a=\frac{t}{s-a}}\hfill \end{array}}\}{\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \varrho +{\varrho }_a=\frac{t}{s}+\frac{t}{s-a}=\frac{t\left(2s-a\right)}{s\left(s-a\right)}=\frac{t\left(b+c\right)}{s\left(s-a\right)}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle \pm }\hfill & {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle {\varrho }_a-\varrho =\frac{t}{s-a}-\frac{t}{s}=\frac{t\cdot a}{s\left(s-a\right)}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A két egyenletből $\begin{array}{c}{\displaystyle \left({\varrho }_a+\varrho \right):\left({\varrho }_a-\varrho \right)=\left(b+c\right):a\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Így tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \overline{AL}:\overline{DL}=\left({\varrho }_a+\varrho \right):\left({\varrho }_a-\varrho \right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ezen arány szerint az $\overline{AD}$ távolságot felosztva, megkapjuk a háromszöget belülről érintő kör középpontját. E körhöz $A$-ból és $D$-ből érintőket húzva, nyerjük a keresett háromszöget. A feladatnak négy megoldása van.    Bizám György (Bolyai g. VII. r. o. Budapest, V.).