Feladat: 441. matematika ábrázoló geometria feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bizám György ,  Fekete András ,  Kovács I. ,  Szlovák István 
Füzet: 1938/november, 78 - 79. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kúpok, Mértani helyek, Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/szeptember: 441. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Messük a kúpokat az [APQ] síkkal. Legyen e síkban lévő és az alkotókra merőleges egyenesek metszéspontja M és ennek PQ-ra való vetülete K. Mivel a merőleges szárú szögek egyenlők, ezért OAP∢=MPK∢=α és OAQ∢=MQK∢=α+β.

 
 

Ebből következik, hogy AOP△∼KPM△ és AOQ△∼KQM△. Tehát
a:r=x:(y+b)xr=ay+ab(a+b):r=x:yxr=ay+by
  y=a
x⋅r=a2+abx=a(a+b)a(a+b)=a(a+b)x=r



Az M pontok mértani helye tehát olyan kör, melynek síkja párhuzamos S-el, középpontja K az OPQ egyenesen van Q-tól a távolságra és sugara az adott r-el egyenlő.
A |PA| és |QA| egyenesekre merőleges egyenesek azonban nincsenek mind bent a PQA síkban, hanem e síkra merőleges síkokban. Így tehát e két sík metszésvonala m és M-re illeszkedik és merőleges a [PQA] síkra, vagyis m a talált kör érintője. m-nek bármely pontját P és Q-val összekötve a |PA|, illetőleg |PB| egyenesekre merőleges egyeneseket kapunk.
A keresett mértani hely tehát a nyert kör síkjának mindazon pontja, amely nincs a körön belül.
Ha P és Q az O két különböző oldalán vannak, az csak a távolsági viszonyokon változtat.
 
Bizám György (Bolyai g. VII. r. o. Budapest.)