Feladat: 432. matematika ábrázoló geometria feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fekete András ,  Steiner Iván ,  Szabó Béla ,  Szlovák István 
Füzet: 1938/május, 294 - 295. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Ellipszis, mint kúpszelet, Síkgeometriai szerkesztések
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/március: 432. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. O-ból 3 koncentrikus kört rajzolunk: b, a+b2 és a sugárral.

 
 

A P pont pedig oly körön van, melynek sugara a-b2, középpontja (O1) pedig az a+b2 sugarú kör egy pontja. Két megoldás van.
 
Steiner Iván (Toldy Ferenc g. VI. r. o., Budapest).

 

 
 

II. Megoldás. Ha az a-b2 sugarú kört tetszőleges helyen rajzoljuk meg és a P pontot O körül addig forgatjuk, míg e kört nem metszi a forgási körív, akkor az így nyert pontban megrajzoljuk a tengelyek irányának elforgatottjait, amelyeket visszaforgatva, megkapjuk a tengelyek irányát.
 
Szlovák István (Vörösmarty Mihály g. V. r. o., Budapest).

 

III. Megoldás. Tudjuk, hogy ha egy gömböt egy síkkal metsszük, akkor a síkmetszet mindig kör, de a képe általában ellipszis.
Legyen O a gömb középpontjának első képe és legyen a gömb sugara a. Ekkor a középpontra illeszkedő minden síkmetszet első képének nagytengelye 2a. Ha emellett az ellipszis kistengelye 2b, akkor megadtuk a metsző sík első képsíkszögét: cosα1=ab. Így a metsző sík oly forgás kúp érintősíkja, melynek csúcsa 0, tengelye merőleges P1-re ás félnyílása 90∘-α1.
 
 

De az ellipszisnek P pontja adott. Evégből megkeressük a gömb azon Q pontját, melynek első képe P. Ilyen kettő van: Q1 és Q2. Az említett kúpnak a Q pontok egyikére illeszkedő érintősíkjai azon síkok, melyek által a gömbből kimetszett körök első képe a keresett ellipszis. A négy kör közül 2‐2-nek első képe azonos, mert amennyivel mélyebben van Q1 az O-nál, annyival van Q2 magasabban O-nál.