Kezdőlap


Feladat:	407. matematika ábrázoló geometria feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fekete András , Glück Gy. , Komlós János , Neumann Andor , Orbán O. , Pálfay Ferenc , Papp István , Pásztor L. , Pfeifer S. , Reiner I. , Sárközi István , Sebestyén Gyula , Sydó Sándor
Füzet:	1937/november, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ábrázoló geometria, Gömb és részei, Mértani helyek, Diszkusszió
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/szeptember: 407. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A $P$ ponton átmenő és az első képsíkkal párhuzamos síkban kell a húrt keresnünk. E sík a gömböt egy $k$ körben, az adott síkot egy $h$ első fővonalban metszi. Rajzoljunk olyan $q$ egyenest e síkban, mely párhuzamos $h$ -val úgy, hogy $h$ felezze a $P q$ távolságot. Messe a $q$ egyenes a $k$ kört a $Q_{1}$ és $Q_{2}$ pontokban. $P Q_{1}$ és $P Q_{2}$ egyenesek adják a keresett húrt.

Sydó Sándor (Révai Miklós g. VIII. r. o. Győr)

II. Megoldás. A gömb

P

pontra illeszkedő húrjai felező pontjainak mértani helye olyan gömb, melynek átmérője

O P

, ahol

O

az adott gömb középpontja. A

P

ponton átmenő és az első képsíkkal párhuzamos sík az adott gömböt egy

k

körben (középpontja

O_{1}

) a kisebb gömböt egy

c

körben, az adott síkot pedig egy

h

első fővonalban metszi. A

h

és

c

metszéspontjai

H_{1}

és

H_{2}

P H_{1} (P H_{2})

és a

k

kör metszéspontja

Q_{1} (Q_{2})

. A keresett húr

P Q_{1}

és

P Q_{2}

.
Tegyünk a

P

és

O

pontokon át egy tetszőleges síkot. Messe ez a gömböt egy körben és legyen

P Q

egy

P

-re illeszkedő tetszőleges húr. Ennek felezési pontja legyen

F

\begin{matrix} \begin{matrix} Mivel & \bar{P Q} = 2 \cdot \bar{P F} \\ és & \bar{P R} = 2 \cdot \bar{P O} \\ tehát & F O ∥ Q R . \end{matrix} \end{matrix}

P Q R ∢ = 90^{\circ}

, tehát

P F O ∢ is = 90^{\circ}

, vagyis az

F

pontok mértani helye Thalesz tétele értelmében gömb.
A feladatnak általában két megoldása van, de csak akkor, ha az adott sík a

\bar{P O_{1}}

távolságot metszi. Ha a sík az

O_{1}

pontra illeszkedik, akkor egy megoldás van, különben egy sincs.

Neumann Andor (Kemény Zsigmond g. VIII. r. o. Budapest.)