Feladat: 406. matematika ábrázoló geometria feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fekete András ,  Komlós János ,  Sárközy I. ,  Sebestyén Gyula ,  Sydó Sándor 
Füzet: 1937/november, 90 - 91. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Ábrázoló geometria, Gömb és részei, Háromszögek szerkesztése, Körérintők
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/szeptember: 406. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a két gömb centrálisára egy tetszőleges S síkot illesztünk, akkor könnyen kimutatható, hogy a kimetszett körök közös külső érintőinek szöge β-γ.

 
 

Az ábra szerint: (β+γ)+2(180-β)+(β-γ)=360. E síkban adva van Ob, ϱb és Oc, tehát megszerkeszthető hozzá a (β-γ) adat alapján a külső hasonlósági pont (K). Az így nyert érintőre Oc-ből merőlegest bocsátva, megkapjuk ϱc-t. A belső hasonlósági pontból (A) húzott közös érintők adják a háromszög másik két oldalát. Forgassuk meg e síkot a centrális körül. Az a érintő kúpot ír le, melynek általában két oly alkotója van, mely párhuzamos az első képsíkkal. Az így nyert alkotó és A meghatározzák a háromszög síkját, melyben az előbbi szerkesztés elvégezhető.
 
Fekete András (Fazekas Mihály g. VII. r. o. Debrecen)
 

Jegyzet. E feladatnak azonban még sok más megoldása is van.
 

I. Messük az (Ob, ϱb) gömböt egy az első képsíkkal párhuzamos, de egyébként tetszőleges (S) síkkal. E sík a gömbből egy (k) kört, a másik gömbből pedig oly kört (c) fog kimetszeni, melynek középpontja Oc-nek S-en való vetülete. k-hoz (β-γ) alapján ‐ mint fent ‐ megszerkesztjük a (K) külső hasonlósági pontot, majd ebből az (a) érintőket, ehhez a (c) kört és végül a belső hasonlósági pontot (A). Oc és c meghatározzák a másik gömböt.
 

II. Messük az (Ob, ϱb) gömböt egy tetszőleges (S) síkkal, mely a centrálissal φ szöget alkot. E síkban az előbbi módon megszerkesztett körök és érintők a feladat megoldását adnák, ha a párhuzamos volna P1-el. Evégből az S síkot a centrális körül addig forgatjuk, míg a párhuzamos nem lesz P1-el.