Feladat: 344. matematika ábrázoló geometria feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bálint J. ,  Brill Gy. ,  Csillag F. ,  Ilkovits I. ,  Komlós J. ,  Nagy E. ,  Pick György ,  Schreiber Béla 
Füzet: 1935/december, 120. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Ábrázoló geometria
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1935/október: 344. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Illesszünk az |AB|-re egy tetszőleges síkot és keressük meg itt a mértani helyet. Legyen AO=OB=k és legyen egy derékszögű koordinátarendszer X tengelye AB, origója O.

 
 

Ha a keresett mértani hely egy pontja P és annak koordinátái x, y, akkor írhatjuk:
AB¯2=(k+x)2+y2  és  BP¯2=(k-x)2+y2
AP¯2+BP¯2=a2=2k2+2x2+2y2,
ahonnan
x2+y2=a22-k2,

A keresett mértani hely tehát a síkban kör, melynek középpontja O és sugara r=a22-k2.
Ha e kört |AB| körül megforgatjuk, akkor az O középpontú és r sugarú gömböt kapjuk.
A feladatnak megoldása csak akkor van, ha
a2-2k220,azaza22k2,ill.ak2.
Ha
a=k2,akkorr=0
és így a feladat megoldása egy pont: O.
 

Pick György (Bólyai r. VIII. o. Budapest)
 

II. Megoldás. Ha P a keresett mértani hely egy pontja, akkor a cosinus tétel szerint
+{AP¯2=AO¯2+PO¯2-2AO¯2PO¯cosαBP¯2=BO¯2+PO¯2+2BOPOcosαa2=(c2)22+2PO¯2,ill.PO¯=a22-(c2)2,
ahol c=AB.
 
 

Mivel a22-(c2)2 állandó, ezért a P pontok mértani helye a síkban kör, a térben gömb.
 

Schreiber Béla (Izraelita rg. VI. o. Budapest)