Legyenek a síkok $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$. A. keresett gömb középpontja $\left(O\right)$ egyenlő távolságra van mind a négy síktól.
Két síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a két sík szögét felező (egymásra merőleges) két sík.
Három általános (egy ponton átmenő) síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a közös pontra illeszkedő négy egyenes, amely a $3\times 2=6$ szögfelező sík metszésvonala és amely egyenesek a három sík által nyolc részre osztott térrész közül $2$‐$2$-n haladnak át.
A keresett $O$ pont minden esetre ezen egyeneseken lehet csak. Az $S_4$ és pl. $S_1$ síkok szögfelező síkjai ezen egyeneseket egy-egy (összesen nyolc) pontban metszik. Ezek a feladat megoldásai.
Több megoldás nincs. Az $S_2{S}_4$ és ez $S_3{S}_4$ síkok szögfelező síkjai ugyanis egyeneseinket ugyanezen pontokban metszik. Mert ha pl. $S_2{S}_4$ síkok szögfelező síkja $\left(S\right)$ az egyik egyenest más pontban $\left(P\right)$ metszené, akkor ez is, mint megoldás, egyenlő távol volna minden síktól és így rajta volna az $S_1{S}_4$ síkok szögfelező síkján. De egy sík egy egyenest csak egy pontban metszhet.
A síkok különleges viszonylagos helyzete a megoldások számát megváltoztathatja. Így pl. a szabályos tetraédert (ill. a lapok meghosszabbításait) érintő gömbök száma öt. A négy szögfelező egyenes az ábrában a $B$ csúcsból indul ki. Ezek: $m_1$, $m_2$, $m_3$, $m_4$. A gömbök középpontjai az $1$, $2$, $3$, $4$ és $5$ pontok, melyeket az $m_1$ egyenesekből az ábrában az $\left[ACD\right]$ és $\left[BCD\right]$ síkok szögfelező síkjai metszenek ki.