Kezdőlap


Feladat:	270. matematika ábrázoló geometria feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Weiszfeld Endre
Füzet:	1933/október, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ábrázoló geometria
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/május: 270. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Segédtétel: Hiperbola és vele koncentrikus kör közös érintőinek szerkesztése.
Legyen a hiperbola egyenlete

\begin{matrix} b^{2} x^{2} - a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}, \end{matrix}

(1)

akkor az

(x_{1}, y_{1})

ponthoz tartozó érintő egyenlete:

y - y_{1} = \frac{b^{2} x_{1}}{a^{2} y_{1}} (x - x_{1})

.
Rendezve:

\begin{matrix} b^{2} x_{1} \cdot x - a^{2} y_{1} \cdot y = b^{2} x_{1}^{2} - a^{2} y_{1}^{2} vagyis^{1} m i v e l x_{1}, y_{1} k i e l é g í t i k a z 1) - e t . b^{2} x_{1} x - a^{2} y_{1} y = a^{2} b^{2} . \end{matrix}

(2)

¹ Ezen egyenes távolsága az origótól:

\frac{a^{2} b^{2}}{\sqrt[]{b^{4} x_{1}^{2} + a^{4} y_{1}^{2}}}

.

Ha azt akarjuk, hogy egyenesünk, ‐ a hiperbola érintője, ‐ az

r

sugarú kört is érintse, akkor az

\begin{matrix} \frac{a^{2} b^{2}}{b^{4} x_{1}^{2} + a^{4} y_{1}^{2}} = r \end{matrix}

(3)

egyenletnek kell fennállania. Az (1) és (3)-ból

y_{1}

-et kiküszöbölve:

\begin{matrix} \frac{a^{2} b^{2}}{\sqrt[]{b^{4} x_{1}^{2} + a^{2} b^{2} x_{1}^{2} - a^{4} b^{2}}} = r . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} a^{4} b^{2} = r^{2} (b^{2} x_{1}^{2} + a^{2} x_{1}^{2} - a^{4}), ill. x_{1}^{2} (a^{2} + b^{2}) r^{2} = a^{4} (b^{2} + r^{2}), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x_{1} = \pm \frac{a^{2} \sqrt[]{b^{2} + r^{2}}}{r \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}, \end{matrix}

ahol

x_{1}

derékszögű háromszögek, mértani középarányos és negyedik arányos segítségével megszerkeszthető. ²
Azon síkok, melyek a kúp szimmetriasíkjával

φ

szöget alkotnak, egy forgáskúp érintősíkjaival párhuzamos síkok. A kúp tengelye merőleges a szimmetriasíkra, csúcsa

M

és félnyílása

90^{\circ} - φ

. Feladatunk a két kúp közös érintősíkjainak meghatározása.
Vegyünk fel egy síkot, mely az

(M e)

kúp szimmetriasíkjával párhuzamos. E sík az

(M e)

kúpból hiperbolát, a forgási kúpból kört metsz ki. A hiperbola koncentrikus a körrel; közös érintőjük és az

M

csúcs meghatározta sík a közös érintősík, melynek az

(M e)

kúp alapsíkjából kimetszett egyenese a keresett nyomvonal. Négy megoldás.

Weiszfeld Endre (Kemény Zs. r. VII. o. Budapest)

¹mivel

x_{1}

y_{1}

kielégítik az (1)-et.

² $x_{1}$ értéke akkor fogadható el, ha $| x_{1} | ≧ a$ ; ez bekövetkezik, ha $a ≧ r$ . Az $a > r$ esetben négy, az $a = r$ esetben két közös érintő van. Ha $a < r$ , nincsenek közös érintők.