Kezdőlap


Feladat:	269. matematika ábrázoló geometria feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Weiszfeld Endre
Füzet:	1933/október, 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ábrázoló geometria
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/május: 269. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ellipszis egyenlete

\begin{matrix} b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} . \end{matrix}

(1)

Ha az

(x, y)

ponton átmenő alkotó

φ

szöget zár be a szimmetria síkkal,
akkor

\begin{matrix} {tg}^{2} φ = \frac{y^{2}}{m^{2} + x^{2}}, vagy (m^{2} + x^{2}) {tg}^{2} φ = y^{2} . \end{matrix}

(2)

(x, y)

pont koordinátáit tehát az (1) és (2)-ből kell meghatároznunk. Ezekből:

\begin{matrix} b^{2} x^{2} + a^{2} {tg}^{2} φ (m^{2} + x^{2}) = a^{2} b^{2}, \\ x^{2} (b^{2} + a^{2} {tg}^{2} φ) = a^{2} (b^{2} - m^{2} {tg}^{2} φ) . & (3) \end{matrix}

Szerkesszünk most oly derékszögű háromszögeket, ahol

tg φ = \frac{c}{a} = \frac{d}{m};

innen

\begin{matrix} a^{2} {tg}^{2} φ = c^{2} és m^{2} {tg}^{2} φ = d^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x^{2} (b^{2} + c^{2}) = a^{2} (b^{2} - d^{2}) és x = \pm \frac{a \sqrt[]{b^{2} - d^{2}}}{\sqrt[]{b^{2} + d^{2}}} . \end{matrix}

Mivel

\sqrt[]{b^{2} + c^{2}}

és

\sqrt[]{b^{2} - d^{2}}

derékszögű háromszögekből megszerkeszthetők,

x

-et mint negyedik arányost kapjuk. Négy szimmetrikus megoldás van.

Weiszfeld Endre (Kemény Zs. r. VII. o. Budapest)