Messe az adott $g$ egyenes az adott $S_1$, $S_2$ síkokat $G_1$, $G_2$ pontokban. Fektessünk $g$-n át a két sík $m$ metszésvonalával párhuzamos síkot és ebben húzunk $G_1$-n át $m$-re merőleges $l$ egyenest. Ekkor $g$ tetszőleges $P$ pontján átmenő és $m$-mel párhuzamos egyenes oly $Q$ pontban metszi $l$ egyenest, amelynek a két síktól való távolsága és így az összegük is egyenlő $P$-nek távolságaival illetőleg ezek összegével. $l$ egyenes pontjaiból az adott síkokra bocsátott merőleges egyenesek az $l$-en átmenő és $m$-re merőleges $S$ síkban vannak. Ha tehát ez az $S$ sík $S_1$, $S_2$ síkokat $a$, $b$ egyenesekben metszi, akkor feladatunkat arra vezettük vissza, hogy $S$ síkban az $l$ egyenesen határozzuk meg azt a pontot, amelyre nézve $a$, $b$ egyenesektől való távolságainak összege a legkisebb. Ez a pont pedig, mint ismeretes $l$-nek $a$, $b$-vel való metszéspontjai közül az, amely az $\left(a\mathrm{,}b\right)$ metszésponthoz közelebb van. Tehát $g$ egyenesnek az adott két síkkal való $G_1$, $G_2$ metszéspontjai közül az a pont a keresett pont, amely a két sík $m$ metszésvonalához közelebb van.
Ha $g$ a két síkkal párhuzamos, akkor bármely pontjának a két adott síktól való távolságainak összege állandó, tehát minimumról nem beszélhetünk. Ha $g$ csak az egyik síkkal párhuzamos, akkor pontjai e síktól egyenlő távolságra vannak, a másikhoz az a pontja van legközelebb, amelyben azt metszi. Végül, ha $g$-nek a két síkkal való $G_1\mathrm{,}{G}_2$ metszéspontjai egyenlő távol vannak $m$-től, akkor $\overline{G_1{G}_2}$ minden pontjára a távolságok összege állandó.