Kezdőlap


Feladat:	Metresis 32. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Imre János
Füzet:	1894/július, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 32. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldassék meg a következő egyenletrendszer:

\begin{matrix} x^{4} y^{2} + x^{2} y^{4} + z^{4} = a^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = a \end{matrix}

\begin{matrix} x y z = b \end{matrix}

1)

alatti egyenlet a következő alakra hozható:

\begin{matrix} x^{2} y^{2} (x^{2} + y^{2}) = (a + z^{2}) (a - z^{2}) \end{matrix}

2)

alatti pedig a következőre

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = a - z^{2} \end{matrix}

Ezek összehasonlításából folyik a következő:

\begin{matrix} x^{2} y^{2} = a + z^{2}; \end{matrix}

ebből és a

3)

-ból kiküszöbölve

x y

-t, a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} z^{4} + a z^{2} - b^{2} = 0; \end{matrix}

he ennek gyökeit

z_{1}^{2}

és

z_{2}^{2}

-tel jelöljük,

x^{2}

és

y^{2}

a következő másodfokú egyenletek

\begin{matrix} u^{2} - (a - z_{1}^{2}) u + (a + z_{1}^{2}) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} u^{2} - (a - z_{2}^{2}) u + (a + z_{2}^{2}) = 0 \end{matrix}

gyökeiként nyeretnek.
A feladatot megoldották: Friedmann Bernát, fg. VI. S. A. Ujhely; ifj. Imre János, fg. VIII. Nyíregyháza.
Jegyzet. Ifjú munkatársaink megoldása helyes ugyan, de nem t e l j e s. Ha ugyanis a

2)

és

3)

alatti egyenletekből kiszámítjuk

x^{2} y^{2}

és

x^{2} + y^{2}

értékeit és ezeket az

1)

-be helyettesítjük, a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} \frac{b^{2}}{z^{2}} (a - z^{2}) + z^{4} - a^{2} = 0, \end{matrix}

mely rendezve a következő alakot ölti

\begin{matrix} z^{6} - (a^{2} + b^{2}) z^{2} + a b^{2} = 0. \end{matrix}

Minthogy ez még a következő alakban is írható:

\begin{matrix} (z^{2} - a) (z^{4} + a z^{2} - b^{2}) = 0, \end{matrix}

látjuk, hogy ez utóbbi egyenlet a

7)

alattin kívül még a következőt tartalmazza

\begin{matrix} z^{2} - a = 0. \end{matrix}

z^{2}

-nek ezen értéke mellett a hozzátartozó

x^{2}

és

y^{2}

értékeket az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 0, x^{2} y^{2} = \frac{b^{2}}{a} \end{matrix}

egyenletek szolgáltatják.