Kezdőlap


Feladat:	Metresis 15. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Paraméteres egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 15. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egyenlet a következő alakban írható:

\begin{matrix} (sin 3 x + sin x) + (a sin 2 x + sin x) = 0 \end{matrix}

Az első tag

\begin{matrix} sin 3 x + sin x = sin 2 x \end{matrix}

\begin{matrix} = sin 2 x \end{matrix}

\begin{matrix} = sin 2 x \end{matrix}

\begin{matrix} = sin 2 x \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 sin 2 x \end{matrix}

\begin{matrix} = 4 sin x \end{matrix}

A második tag

\begin{matrix} a \end{matrix}

és így az egész egyenlet a következő alakot ölti:

\begin{matrix} sin x (4 cos^{2} x + 2 a \end{matrix}

Egy első megoldás

sin x = 0

, miből

\begin{matrix} x = 0 vagy x = π \end{matrix}

Másrészt az

\begin{matrix} f (cos x) = 4 cos^{2} x + 2 a \end{matrix}

egyenlet minden gyöke, mely

- 1

és

+ 1

között foglaltatik

x

számára két megoldást szolgáltat, u. m.

\begin{matrix} α - t és 2 π - α - t . \end{matrix}

melyek positívok és

2 π

-nél kisebbek.
Hogy az

f (cos x) = 0

egyenlet egy gyöke kielégítse e feltételt, szükséges és elegendő, miszerint

\begin{matrix} f (- 1) f (+ 1) < 0^{*} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} (5 - 2 a) (5 + 2 a) < 0 \end{matrix}

mely minthogy

a > 0

egyenértékű ezzel:

\begin{matrix} a > \frac{5}{2} \end{matrix}

Hogy mind a két gyök kielégítse a feltételt, kell, hogy egyidejűleg fennálljanak a következő relácziók:

\begin{matrix} (5 - 2 a) (5 + 2 a) ≧ 0 \end{matrix}

\begin{matrix} 4 a^{2} - 16 ≧ 0 \end{matrix}

\begin{matrix} - 1 < - \frac{a}{4} < 1 \end{matrix}

E feltételek azonban csak akkor vannak egyidejűleg kielégítve, ha

\begin{matrix} 2 ≦ a ≦ \frac{5}{2} \end{matrix}

Ha tehát

0 < a < 2

az egyenletet csak az

x = 0

és

x = π

értékek elégítik ki.

⋆)

Lásd "másodfokú egyenlet diszkussziója" czímű czikket a "Középisk. Math. Lapok" első évfolyamában.