Kezdőlap


Feladat:	Metresis 8. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 7. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Trigonometriai azonosságok, A komplex szám algebrai alakja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 8. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $n = 2$ . Ekkor

\begin{matrix} 2 cos 2 ϑ = 2 cos^{2} ϑ - 2 sin^{2} ϑ \end{matrix}

\begin{matrix} 2 cos 2 ϑ = 4 cos^{2} ϑ - 2 \end{matrix}

\begin{matrix} 2 cos 2 ϑ = {(u + \frac{1}{u})}^{2} - 2 \end{matrix}

\begin{matrix} 2 cos 2 ϑ = u^{2} + 2 + \frac{1}{u^{2}} - 2 \end{matrix}

\begin{matrix} 2 cos 2 ϑ = u^{2} + \frac{1}{u^{2}} \end{matrix}

Állításunk tehát helyes, ha

n = 2

; hogy általános érvényességét bebizonyíthassuk minden egész számra nézve, csak azt kell kimutatnunk, hogy érvényes marad

n + 1

-re, ha érvényes volt

n

-re. Vagyis igaz, hogy

\begin{matrix} 2 cos (n + 1) ϑ = u^{n + 1} + \frac{1}{u^{n + 1}}, \end{matrix}

ha igaz volt, hogy

\begin{matrix} 2 cos n ϑ = u^{n} + \frac{1}{u^{n}} \end{matrix}

\begin{matrix} cos (n + 1) ϑ = cos n ϑ cos ϑ - sin n ϑ sin ϑ \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} sin ϑ = \sqrt[]{1 - cos 2 ϑ} = \frac{1}{2} \sqrt[]{4 - u^{2} - \frac{1}{u^{2}} - 2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{2} (u - \frac{1}{u}) \sqrt[]{- 1} . \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} sin n ϑ = \frac{1}{2} (u^{n} - \frac{1}{u^{n}}) \sqrt[]{- 1} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} cos (n + 1) ϑ = \frac{1}{4} (u^{n} + \frac{1}{u^{n}}) (u + \frac{1}{u}) + \end{matrix}

\begin{matrix} + \frac{1}{4} (u^{n} - \frac{1}{u^{n}}) (u - \frac{1}{u}) \end{matrix}

Egyszerűsítve az utóbbi egyenletet, kapjuk a következőt:

\begin{matrix} cos (n + 1) ϑ = \frac{1}{2} (u^{n + 1} + \frac{1}{u^{n + 1}}), \end{matrix}

mely tételünket igazolja.