Kezdőlap


Feladat:	Metresis 7. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 7. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $l$ a kazán hossza, $x$ ás $y$ rendre a henger átmérője és magassága. A kazán térfogata

\begin{matrix} V = π {(\frac{x}{2})}^{2} y + \frac{1}{6} π x^{3} \end{matrix}

Vagy minthogy

y = l - x

\begin{matrix} V = \frac{π x^{2}}{12} (3 l - x) \end{matrix}

Hogy a

V

maximumát meghatározhassuk, elegendő az

\begin{matrix} x^{2} (3 l - x) \end{matrix}

kifejezés maximumát meghatározni. De e kifejezésnek a következő alakja van

\begin{matrix} x^{p} y^{l} \end{matrix}

hol

y = 3 l - x

p = 2

q = 1

és

x + y = 3 l

De az

x^{p} y^{q}

kifejezésnek maximumát, ha

x + y = 3 l =

állandó, akkor kapom, ha

\begin{matrix} \frac{x}{p} = \frac{y^{⋆}}{q} \end{matrix}

azaz a jelen esetben, ha

\begin{matrix} \frac{x}{2} = \frac{3 l - x}{1} \end{matrix}

vagyis ha

x = 2 l

.
Ha tehát

x

0

-tól

2 l

-ig növekedik,

V

is a

0

-tól a

\frac{π l^{3}}{3}

-ig növekedik és itt maximumát éri el. Csakhogy

x

-nek legnagyobb értéke a feladat értelmében legfeljebb

l

lehet, s így

V

az absolut maximumot sohasem éri el; mindamellett a

V = \frac{π l^{2}}{6}

érték a relatíve legnagyobb érték, melyet az adott körülmények mellett elérhet. Ekkor a kazán gömbalakú lesz.

⋆)

Lásd a "Középiskolai Math. Lapok" első évfolyamában a 44. oldalon a III. Theorémát.