Kezdőlap


Feladat:	Metresis 4. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 3 - 4. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Terület, felszín, Számtani sorozat, Pitagoraszi számhármasok, Héroni számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 4. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $x$ a háromszög középső oldalának mérőszáma és $y$ a számtani haladvány külömbsége, az oldalak, illetőleg a terület rendre a következők:

\begin{matrix} x - y, x, x + y, x + 2 y . \end{matrix}

A terület kifejezve az oldalak által a következő:

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{3 x^{2} (x + 2 y) (x - 2 y)}{16}} \end{matrix}

és a feltevés értelmében

\begin{matrix} x + 2 y = \sqrt[]{\frac{3 x^{2} (x + 2 y) (x - 2 y)}{16}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(x + 2 y)}^{2} = \frac{3 x^{2} (x + 2 y) (x - 2 y)}{16} \end{matrix}

Minthogy

x + 2 y > 0

, mert

x > 0

és

y > 0

, az utóbbi egyenlet mindkét oldala osztható

x + 2 y

-nal. Lesz tehát az utóbbi:

\begin{matrix} x + 2 y = \frac{3 x^{2} (x - 2 y)}{16} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y = \frac{3 x^{3} - 16 x}{2 (3 x^{2} + 16)} \end{matrix}

Hogy

y

egész szám lehessen, kell, hogy tört alakjában a számláló páros legyen, mert a nevező is páros. De a számláló csak úgy lehet páros, ha maga az

x

is páros. Írhatjuk tehát, hogy

\begin{matrix} x = 2 z . \end{matrix}

Ezen értéket az

1)

-be helyettesítve, nyerjük a következő egyenletet:

\begin{matrix} y = \frac{3 z^{3} - 4 z}{3 z^{2} + 4} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y = z - \frac{8 z}{3 z^{2} + 4} \end{matrix}

Minthogy

y

-nak positívnak kell lennie, nyerjük a

2)

-ből miszerint:

\begin{matrix} 3 z^{3} - 4 z > 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 3 z^{2} - 4 z > 0 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} z > 1 \end{matrix}

Hogy

y

egész szám lehessen kell, hogy

\frac{8 z}{3 z^{2} + 4}

egész szám legyen, mi akkor lehetséges, ha

\begin{matrix} 8 z \geq 3 z^{2} + 4 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} z (8 - 3 z) \geq 4 \end{matrix}

De ugyanekkor

\begin{matrix} 3 z < 8 \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} z < 3 \end{matrix}

4)

és

5)

feltételt egyidejűleg azonban csak a

z = 2

egyenlet elégíti ki. Ebből következik, hogy:

\begin{matrix} x = 4 \end{matrix}

\begin{matrix} y = 1 \end{matrix}

és a keresett háromszög oldalai és területe rendre:

\begin{matrix} 3, 4, 5, 6. \end{matrix}