Kezdőlap


Feladat:	658. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Báron Gy. , Bródy T. , Előd E. , Feith M. , Kövér A. , Lukács F. , Mándoki L. , Neukomm Gy. , Orphanides E. , Polgár M. , Pólya L. , Reisch N. , Sacher P. , Strömpl J. , Szidon S. , Varga Sándor
Füzet:	1907/január, 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középvonal, Terület, felszín, Paralelogrammák, Négyszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1906/november: 658. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C D$ a négyszög s legyenek az $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ és $D_{1}$ pontok az $A B, B C, C D$ és $D A$ oldalak középpontjai.

\begin{matrix} A_{1} B : A B = 1 : 2 = B B_{1} : B C, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A_{1} B_{1} ∥ A C, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} D D_{1} : D A = 1 : 2 = D C_{1} : D C, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} D_{1} C_{1} ∥ A C \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A_{1} B_{1} ∥ C_{1} D_{1} . \end{matrix}

Ugyanígy kimutatható, hogy

A_{1} D_{1} ∥ B_{1} C_{1}

, tehát az

A B C D

négyszög valóban egyenközény.

\begin{matrix} A_{1} B B_{1} Δ = \frac{1}{4} A B C Δ, C_{1} D D_{1} Δ = \frac{1}{4} A C D Δ, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A_{1} B B_{1} Δ + C_{1} D D_{1} Δ = \frac{1}{4} A B C D . \end{matrix}

Ugyanígy

\begin{matrix} B_{1} C C_{1} Δ + D_{1} A A_{1} Δ = \frac{1}{4} A B C D, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} = A B C D - (A_{1} B B_{1} Δ + B_{1} C C_{1} Δ + C_{1} D D_{1} Δ + D_{1} A A_{1} Δ) = \end{matrix}

\begin{matrix} = A B C D - \frac{1}{2} A B C D = \frac{1}{2} A B C D, \end{matrix}

s így

1 : 2

a keresett arány.

(Varga Sándor, Budapest.)