Kezdőlap


Feladat:	553. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fekete K. , Fischer M. , Fischer T. , Forintos K. , Gallia M. , Kuffler Albert , Lukács Ferenc , Milhofer L. , Paunz R.
Füzet:	1905/december, 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/október: 553. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Vegyünk fel az $A C$ száron egy tetszőleges $D$ pontot s rajzoljunk $D$ -ből $A B$ -vel párhuzamost. E párhuzamoson úgy jelöljük ki az $E$ pontot, hogy $D E = 2 A D$ legyen. $A E$ meghosszabbítása a $B C$ oldalt $Y$ -ban metszi. $Y$ -ból $A B$ -vel párhuzamost rajzolva kapjuk $A C$ -n az $X$ pontot. Ugyanis

\begin{matrix} A D E Δ \sim A X Y Δ, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} X Y : A X = D E : A D = 2 : 1, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} X Y = 2 A X = 2 B Y . \end{matrix}

Két megoldást kapunk, mert

D

-t

A C

-n, az

A B

alap fölött vagy alatt választhatjuk.

(Kuffler Albert, Budapest.)

Második megoldás. Legyen az

A ∢

és

B ∢

belső, illetve külső szögfelezőinek metszéspontja

O

, illetve

O_{1}

O

-ból és

O_{1}

-ből

A B

-vel párhuzamosakat rajzolva kapjuk az

A C

és

B C

száron az

X, X_{1}

és

Y, Y_{1}

pontokat.

X Y

és

X_{1} Y_{1}

a keresett szelők. Ugyanis

\begin{matrix} X A O ∢ = O A B ∢ = A O X ∢ \end{matrix}

és

\begin{matrix} X_{1} A O_{1} ∢ = O_{1} A B ∢ = A O_{1} X_{1} ∢ \end{matrix}

tehát az

A X O

és

A X_{1} O_{1}

háromszögek egyenlőszárúak, s így

\begin{matrix} X Y = 2 O X = 2 A X = 2 A Y \end{matrix}

és

\begin{matrix} X_{1} Y_{1} = 2 O_{1} X_{1} = 2 A X_{1} = 2 A Y_{1} . \end{matrix}

(Lukács Ferenc, Budapest.)