Kezdőlap


Feladat:	531. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Silbermann Jenő
Füzet:	1905/október, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/április: 531. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel szerint

\begin{matrix} a = \frac{3}{2} d, b = \frac{4}{3} d és c = \frac{7}{6} d . \end{matrix}

Másrészt Carnot tétele alapján

\begin{matrix} a^{2} + d^{2} - 2 a d cos α = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos γ, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} cos γ = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} - d^{2} + 2 a d cos α}{2 b c} =, \end{matrix}

tehát a jelen feladatban

\begin{matrix} cos γ = \frac{27 cos α - 1}{28} = 0,25240 \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} γ = 75^{\circ} 27' 6'' \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} a d sin α + b c sin γ = 2 t, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} d^{2} (\frac{3 sin α}{2} + \frac{7 sin γ}{4}) = 2 t, \end{matrix}

\begin{matrix} d = \sqrt[]{\frac{8 t}{6 sin α + 7 sin γ}} = 12,05 cm, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a = 18,07 cm, b = 16,06 cm, és c = 14,05 cm . \end{matrix}

Ha az

A B C D

négyszögben a

B D

átló a

β

és

δ

szögeket

β_{1}, β_{2}

és

δ_{1}, δ_{2}

szögekre bontja, akkor

A B D

háromszögben a tangens-tétel szerint

\begin{matrix} \frac{a + d}{a - d} = \frac{tg \frac{β_{1} + δ_{1}}{2}}{tg \frac{β_{1} - δ_{1}}{2}} = \frac{tg (90^{\circ} - \frac{α}{2})}{tg \frac{β_{1} - δ_{1}}{2}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} tg \frac{β_{1} - δ_{1}}{2} = \frac{1}{5} ctg \frac{α}{2}, \end{matrix}

tehát

\frac{β_{1} - δ_{1}}{2}

kiszámítható. Minthogy pedig

\begin{matrix} β_{1} + δ_{1} = 180^{\circ} - α, \end{matrix}

azért úgy

β_{1}

-et, mint

δ_{1}

-et meghatározhatjuk. Nyerjük, hogy

\begin{matrix} β_{1} = 68^{\circ} 49' 1'', δ_{1} = 38^{\circ} 24' 41'' . \end{matrix}

Ugyanígy kapjuk a

B C D

háromszögből, hogy

\begin{matrix} β_{2} = 61^{\circ} 51' 39'', δ_{2} = 42^{\circ} 51' 15'' . \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} β = β_{1} + β_{2} = 130^{\circ} 40' 40'', és δ = δ_{1} + δ_{2} = 81^{\circ} 15' 56'' . \end{matrix}

A feladatot megoldotta: Silbermann Jenő.