Kezdőlap


Feladat:	530. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Silbermann J. , Szántó L. , Szenes Andor
Füzet:	1905/október, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koszinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/április: 530. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy

\begin{matrix} 2 t = b c sin α vagy b c = \frac{2 t}{sin α} . \end{matrix}

Carnot tétele szerint

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α = {(b + c)}^{2} - 2 b c (cos α + 1) = {(b + c)}^{2} - 4 b c cos^{2} \frac{α}{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(b + c)}^{2} = a^{2} + \frac{8 t}{sin α} cos^{2} \frac{α}{2} = a^{2} + 4 t ctg \frac{α}{2} . \end{matrix}

(

1^{\circ}

)

Ugyanígy

\begin{matrix} a^{2} = {(b - c)}^{2} = 2 b c (cos α - 1) = {(b - c)}^{2} + 4 b c sin^{2} \frac{α}{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(b - c)}^{2} = a^{2} + \frac{8 t}{sin α} sin^{2} \frac{α}{2} = a^{2} - 4 t tg \frac{α}{2} . \end{matrix}

(

2^{\circ}

)

(1^{\circ})

-ből és

(2^{\circ})

-ből

\begin{matrix} b = \frac{\sqrt[]{a^{2} + 4 t ctg \frac{α}{2}} + \sqrt[]{a^{2} - 4 t tg \frac{α}{2}}}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} c = \frac{\sqrt[]{a^{2} + 4 t ctg \frac{α}{2}} - \sqrt[]{a^{2} - 4 t tg \frac{α}{2}}}{2} . \end{matrix}

A szögeket most már a sinus-tétel alapján számíthatjuk ki.
A megadott számbeli értékeket helyettesítve nyerjük, hogy

\begin{matrix} b = 27,92 cm, c = 21,26 cm \end{matrix}

és

\begin{matrix} β = 99^{\circ} 17' 16'', γ = 48^{\circ} 27' 21'' . \end{matrix}

(Szenes Andor, Kaposvár.)