Kezdőlap


Feladat:	527. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Forintos K. , Grünhut F. , Klein A. , Neumann Zs. , Pálos T. , Paunz R. , Silbermann J. , Steinitz K. , Szántó L. , Szenes A.
Füzet:	1905/október, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Beírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/április: 527. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $a$ és $b$ a két befogó, $k$ a kerület és $r$ a beírt kör sugara. Ekkor

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = {(k - a - b)}^{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} k^{2} - 2 k (a + b) + 2 a b = 0. \end{matrix}

\begin{matrix} a b = 2 t = k r, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} k^{2} - 2 k (a + b) + 2 k r = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} a = r + \frac{k}{2} - b, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} r k = b (r + \frac{k}{2} - b) = b r + \frac{b k}{2} - b^{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} b^{2} - b (r + \frac{k}{2}) + r k = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} b = \frac{r + \frac{k}{2} \pm \sqrt[]{r^{2} + \frac{k^{2}}{4} - 3 r k}}{2}, \end{matrix}

s így végül

\begin{matrix} a = \frac{r + \frac{k}{2} \mp \sqrt[]{r^{2} + \frac{k^{2}}{4} - 3 r k}}{2} . \end{matrix}

Számbeli eredmények a jelen példában:

\begin{matrix} a_{1} = 8 cm, b_{1} = 15 cm; \end{matrix}

A háromszög átfogója pedig

c = 17 cm