Kezdőlap


Feladat:	526. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szántó L.
Füzet:	1905/október, 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/április: 526. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $R$ valamely tetszőleges szám. Feladatunkat megoldottuk, ha ki tudjuk mutatni, hogy $R^{5} - R$ osztható $10$ -zel, mert ekkor $R^{5}$ és $R$ utolsó jegye valóban megegyezik.

\begin{matrix} R^{5} - R = R (R^{4} - 1) = R (R^{2} + 1) (R^{2} - 1) = R (R^{2} + 1) (R + 1) (R - 1) . \end{matrix}

Vagy

R

, vagy

R + 1

páros, tehát csak azt kell kimutatnunk, hogy a négy tényező közül az egyik osztható

5

-tel. Ha

R - 1, R

és

R + 1

nem oszlható

5

-tel, ekkor

R

ily alakban írható:

R = 5 k \pm 2

, s így ekkor

\begin{matrix} R^{2} + 1 = 25 k^{2} \pm 20 k + 5 = 5 m, \end{matrix}

tehát

R^{5} - R

valóban osztható

10

-zel, bármilyen egész szám is

R

A feladatot megoldották: Silbermann J. és Szántó L.