Kezdőlap


Feladat:	493. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer J. , Domokos Gy. , Forintos K. , Kuffler A. , Pálos Tibor , Schudich L. , Silbermann J. , Szántó L. , Szőllös H. , Ungar E.
Füzet:	1905/március, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/január: 493. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A_{1} B_{1} C_{1}$ talpponti háromszög szögei rendre $2 x, 6 x, 7 x$ . Ekkor

\begin{matrix} 2 x + 6 x + 7 x = 180^{\circ}, \end{matrix}

miből

x = 12^{\circ}

, tehát

\begin{matrix} B_{1} A_{1} C_{1} ∢ = A_{1} ∢ = 24^{\circ}, \end{matrix}

\begin{matrix} A_{1} B_{1} C_{1} ∢ = B_{1} ∢ = 72^{\circ} és A_{1} C_{1} B_{1} ∢ = C_{1} ∢ = 84^{\circ} . \end{matrix}

A B A_{1} B_{1}

négyszög húrnégyszög, mert

A_{1}

is,

B_{1}

is az

A B

átmérő fölé rajzolt félkörön fekszik, tehát

\begin{matrix} A ∢ = 180^{\circ} - B A_{1} B_{1} ∢ . \end{matrix}

Ugyanígy az

A C A_{1} C_{1}

húrnégyszögből

\begin{matrix} A ∢ = 180^{\circ} - C A_{1} C ∢, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 2 A ∢ = 360^{\circ} - (B A_{1} B_{1} ∢ + C A_{1} C_{1} ∢) = 360^{\circ} - (180^{\circ} + A_{1} ∢), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A ∢ = 90^{\circ} - \frac{A_{1} ∢}{2} = 90^{\circ} - 12^{\circ} = 78^{\circ} . \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} B ∢ = 90^{\circ} - \frac{B_{1} ∢}{2} = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ} \end{matrix}

és

\begin{matrix} C ∢ = 90^{\circ} - \frac{C_{1} ∢}{2} = 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ} . \end{matrix}

(Pálos Tibor, Budapest.)