Kezdőlap


Feladat:	457. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Basch R. , Bauer J. , Elischer E. , Pálos Tibor , Silbermann J. , Ungár A. , Ungar E. , zentai Kossuth önképzőkör
Füzet:	1904/december, 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/október: 457. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Segédtétel. Ha az $A B C$ háromszögben az $a$ oldalhoz tartozó középvonal $A A_{1} = k$ , akkor

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} = 2 k^{2} + \frac{a^{2}}{2} . \end{matrix}

Bizonyítás. Legyen az

a

oldalhoz tartozó magasság

A A_{2} = m

és

A_{1} A_{2} = x

. Az

A A_{2} B

és

A A_{2} C

derékszögű háromszögekből

\begin{matrix} b^{2} = m^{2} + {\bar{B A}}_{2}^{2} = m^{2} + {(\frac{a}{2} + x)}^{2} = m^{2} + \frac{a^{2}}{4} + a x + x^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} c^{2} = m^{2} + {\bar{C A}}_{2}^{2} = m^{2} + {(\frac{a}{2} - x)}^{2} = m^{2} + \frac{a^{2}}{4} - a x + x^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} = \frac{a^{2}}{2} + 2 (m^{2} + x^{2}) = \frac{a^{2}}{2} + 2 k^{2} . \end{matrix}

Ha feladatunkban a kör középpontját

O

-val jelöljük, akkor e tétel szerint

\begin{matrix} {\bar{P C}}^{2} + {\bar{P D}}^{2} = 2 {\bar{P O}}^{2} + {\bar{O C}}^{2} . \end{matrix}

Bárhol veszünk is fel a kör kerületén egy más

P_{1}

pontot és a

P_{1} C D

háromszögre alkalmazzuk e tételt, akkor kapjuk, hogy

\begin{matrix} {\bar{P_{1} C}}^{2} + {\bar{P_{1} D}}^{2} = 2 {\bar{P_{1} O}}^{2} + {\bar{O C}}^{2} = 2 {\bar{P O}}^{2} + {\bar{O C}}^{2} = {\bar{P C}}^{2} + {\bar{P D}}^{2}, \end{matrix}

tehát

{\bar{P C}}^{2} + {\bar{P D}}^{2}

összeg valóban állandó, ha a

P

pont a körön mozog.

(Pálos Tibor, Budapest.)