Kezdőlap


Feladat:	419. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Basch R. , Dénes M. , Domokos György , Elischer E. , Erdős V. , Fried E. , Pálos T. , Schulhof E. , Szántó L. , Szilárd V. , Ungár E. , Viola R.
Füzet:	1904/szeptember, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/március: 419. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Szerkesztünk olyan $B C D$ háromszöget, melyben $B C = a, B D = s$ és $B D C ∢ = \frac{α}{2}$ . $C D$ -re, középpontjában merőlegeset emelünk, mely $B D$ -t $A$ -ban metszi. $A B C$ a keresett háromszög.
Bizonyítás. Az $A D C$ háromszög egyenlőszárú, tehát

\begin{matrix} B A C ∢ = A C D ∢ + A D C ∢ = \frac{α}{2} + \frac{α}{2} = α \end{matrix}

és

\begin{matrix} A B + A C = A B + A D = B D = s . \end{matrix}

Jegyzet. Rajzoljuk meg a

B C D

háromszögben a

B B_{1}

magasságot.
Feladatunknak két megoldása van, ha

B C > B B_{1}

, vagyis ha

α > s sin \frac{α}{2}

, egy megoldás van, ha

α = s sin \frac{α}{2}

és végre nincs megoldás, ha

α < s sin \frac{α}{2}

2^{\circ}

. Megszerkesztjük a

B C D

háromszöget, melyben

B C = a

B D = d

és

B D C ∢ = 90 + \frac{α}{2}

. Ha a

D B

középpontjában emelt merőleges

C D

-t

A

-ban metszi, akkor

A B C

a keresett háromszög, mert

\begin{matrix} B A C ∢ = 180^{\circ} - (A D B ∢ + A B D ∢) = 180^{\circ} - 2 A D B ∢ = \end{matrix}

\begin{matrix} = 180^{\circ} - 2 (90^{\circ} - \frac{α}{2}) = α \end{matrix}

és

\begin{matrix} A C - A B = A C - A D = C D = d . \end{matrix}

(Domokos György, Keszthely.)