Kezdőlap


Feladat:	410. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Erdős V. , Fried E. , Koffler B. , Szóbel Izidor , Vilcsek A. , Viola R.
Füzet:	1904/június, 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középvonal, Súlyvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/február: 410. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B C$ háromszög oldalainak középpontját rendre $A_{1}$ -gyel, $B_{1}$ -gyel és $C_{1}$ -gyel. Az $A B_{1} A_{1} C_{1}$ négyszög egyenközény, tehát az előző feladat szerint

\begin{matrix} {\bar{A A_{1}}}^{2} + {\bar{B_{1} C_{1}}}^{2} = 2 {\bar{A C_{1}}}^{2} + 2 {\bar{A B_{1}}}^{2} . \end{matrix}

Legyen rövidség kedvéért

\begin{matrix} A A_{1} = s_{a}, B C = a, C A = b és A B = c, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} s_{a}^{2} + \frac{a^{2}}{4} = 2 (\frac{c^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4}), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} s_{a} = \frac{1}{2} \sqrt[]{2 b^{2} + 2 a^{2} - b^{2}} . \end{matrix}

Ugyanígy

\begin{matrix} s_{b} = \frac{1}{2} \sqrt[]{2 c^{2} + 2 a^{2} - b^{2}} . \end{matrix}

és

\begin{matrix} s_{c} = \frac{1}{2} \sqrt[]{2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}} . \end{matrix}

(Szóbel Izidor, Beregszász.)