Kezdőlap


Feladat:	360. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer E. , Dénes M. , Engler J. , Erdős V. , Fried E. , Grün E. , Neumann L. , Schnabel L. , Spitzer L. , Stolzer I. , Szántó L. , Szilárd V. , Viola Rezső
Füzet:	1903/november, 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Diszkusszió, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/szeptember: 360. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(a) Rajzolunk olyan $p$ egyenest, melynek minden pontja a párhuzamosoktól egyenlő $m$ távolságban van. $m$ -mel, mint sugárral az adott $P$ pontból kört rajzolunk. E kör a $p$ egyenest $Q_{1}$ -ben és $Q_{2}$ -ben metszi. $Q_{1}$ illetőleg $Q_{2}$ a keresett kör középpontja.
(b) Megrajzoljuk az adott egyenesek alkotta szög szögfelezőjét s ennek tetszőleges $Q$ pontjából olyan kört, mely az adott egyeneseket érinti. Az adott $P$ pontot a szög $N$ csúcsával összekötő egyenes e kört $S_{1}$ -ben és $S_{2}$ -ben metszi. $P$ -ből $S_{1} Q$ -val és $S_{2} Q$ -val párhuzamosakat rajzolunk. E párhuzamosak a szögfelezőt a keresett körök középpontjaiban $R_{1}$ -ben és $R_{2}$ -ben metszik.
Bizonyítás. Bocsássunk $Q$ -ból és $R_{1}$ -ből a szög egyik szárára merőlegeseket, miáltal a $T$ és $V$ pontot nyertük. Kössük össze $T$ -t $S_{1}$ -gyel, $V$ -t pedig $P$ -vel. Ekkor $Q T ∥ R_{1} V$ , tehát

\begin{matrix} N T : N V = N Q : N R_{1} = N S_{1} : N P \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} Q T S_{1} ▵ \sim R_{1} V P Δ \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} R_{1} P : R_{1} V = Q S_{1} : Q T = 1 : 1, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} R_{1} P = R_{1} V . \end{matrix}

(Viola Rezső, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bauer E., Dénes M., Engler J., Erdős V., Fried E., Grün E., Neumann L., Schnabel L., Spitzer L., Stolzer I., Szántó L., Szilárd V.