Kezdőlap


Feladat:	323. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csada I. , Kirchknopf E. , Kiss József , Kovács Gy. , Paunz A. , Tóth B.
Füzet:	1903/június, 233 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/február: 323. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A B C$ háromszög szögei $α, β$ és $γ$ . Az $A C_{1} C ∢$ a $B C C_{1}$ háromszög külső szöge, tehát

\begin{matrix} A C_{1} C ∢ = β + \frac{γ}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} E C_{1} C ∢ = A C_{1} C ∢ - \frac{β}{2} = \frac{β + γ}{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} E A C ∢ = \frac{180^{\circ} - α}{2} = \frac{β + γ}{2} \end{matrix}

s így

C E A C_{1}

négyszög húrnégyszög, tehát

\begin{matrix} A E C ∢ = 180^{\circ} - A C_{1} C ∢ = 180^{\circ} - (β + \frac{γ}{2}) = α + \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Ugyanígy mutathatjuk meg, hogy az

A D B B_{1}

négyszög is húrnégyszög, s így

\begin{matrix} D B B_{1} ∢ = 180^{\circ} - D A B_{1} C ∢ = 180^{\circ} - (α + \frac{180^{\circ} - α}{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 90^{\circ} - \frac{α}{2} = \frac{β + γ}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} D B C ∢ = D B B_{1} ∢ + \frac{β}{2} = β + \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} A E C ∢ + D B C ∢ = α + β + γ = 180^{\circ}, \end{matrix}

miért is a

B C E D

négyszög húrnégyszög.

(Kiss József, Pápa.)

A feladatot még megoldották: Csada I., Kirchknopf E., Kovács Gy., Paunz A., Tóth B.