Kezdőlap


Feladat:	311. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csada I. , Kiss J. , Kovács Gyula , Paunz A. , Sárközy P. , Tóth B.
Füzet:	1903/április, 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/január: 311. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $O$ a háromszög súlypontja. Minthogy

\begin{matrix} A_{1} B = A_{1} C = \frac{1}{3} A A_{1} = O A_{1}, \end{matrix}

azért az

O B C

háromszög derékszögű, tehát

\begin{matrix} {\bar{B C}}^{2} = {\bar{B O}}^{2} + {\bar{C O}}^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(\frac{2}{3} \bar{A A_{1}})}^{2} = {(\frac{2}{3} \bar{B B_{1}})}^{2} + {(\frac{2}{3} \bar{C C_{1}})}^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} {\bar{A A_{1}}}^{2} = {\bar{B B_{1}}}^{2} + {\bar{C C_{1}}}^{2} . \end{matrix}

Hosszabbítsuk meg

\bar{O B}

-t és

\bar{O C}

-t

D

-ig és

E

-ig úgy hogy

\bar{O D} = \bar{B B_{1}}

és

\bar{O E} = \bar{C C_{1}}

legyen. Ekkor

O D E

háromszög oldalai az

A B C

háromszög középvonalai és

O B C Δ \sim O D E Δ

. Ha az

A B C, O D E

és

O B C

háromszögek területe

T, t

és

τ

, akkor

\begin{matrix} t = \frac{9}{4} τ és T = 3 τ, s így t = \frac{3}{4} T . \end{matrix}

(Kovács Gyula, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Csada I., Kiss J., Paunz A., Sárközy P., Tóth B.