Kezdőlap


Feladat:	298. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Barok I. , Bayer N. , Csada I. , Cukor G. , Davida L. , Dénes M. , Erdős V. , Felhőssy J. , Fried E. , Füstös P. , Grossberger Z. , Kirchknopf E. , Kiss J. , Koffler B. , Kovács Gy. , Löwy J. , Miklóssy K. , Neumann L. , Paunz A. , Rosenhtal Miksa , Sárközy P. , Szilárd V. , Szőke D. , Viola R. , Zentai S.
Füzet:	1903/március, 188 - 189. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/december: 298. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$A_{1} A_{3} A_{5}$ háromszög egyenlőoldalú és $A_{3} A_{5} ∥ A_{2} A_{6}$ , tehát az $A_{1} B_{1} B_{6}$ háromszög is egyenlőoldalú.

Ugyanígy kimutathatjuk, bogy az

A_{2} B_{2} B_{1}, A_{3} B_{3} B_{2}, A_{4} B_{4} B_{3}, A_{5} B_{5} B_{4}

és az

A_{6} B_{6} B_{5}

háromszögek is egyenlő oldalúak. De

A_{1} B_{1} = A_{2} B_{1}

, mert

\begin{matrix} A_{2} A_{1} A_{3} ∢ = 30^{\circ} = A_{1} A_{2} A_{6} ∢ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} B_{1} B_{6} = B_{1} B_{2} . \end{matrix}

Ugyanez áll a többi háromszögekre is, tehát

B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3} = B_{3} B_{4} = B_{4} B_{5} = B_{5} B_{6} = B_{6} B_{1}

. A

B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5} B_{6}

hatszög mindegyik szöge

120^{\circ}

, mert pl.

\begin{matrix} B_{2} B_{3} B_{4} = 180^{\circ} - B_{3} A_{3} A_{4} - B_{3} A_{4} A_{3} = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}, \end{matrix}

tehát e hatszög valóban szabályos.
Ha a kisebb hatszög területe

t

, a megadotté

T

. akkor

\begin{matrix} t : T = {\bar{B_{1} B_{2}}}^{2} : {\bar{A_{1} A_{2}}}^{2} = {\bar{B_{1} A_{2}}}^{2} : {\bar{A_{1} A_{2}}}^{2} = sin^{2} 30^{\circ} : sin^{2} 60^{\circ} = \frac{1}{4} : \frac{3}{4} = 1 : 3. \end{matrix}

(Rosenthal Miksa, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Barok I., Bayer N., Csada I., Cukor G., Davida L., Dénes M., Erdős V., Felhőssy J., Fried E., Füstös P., Grossberger Z., Kirchknopf E., Kiss J., Koffler B., Kovács Gy., Löwy J., Miklóssy K., Neumann L., Paunz A., Sárközy P., Szilárd V., Szőke D., Viola R., Zentai S.