Kezdőlap


Feladat:	275. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Chambrée M. , Erdős V. , Kovács Gy. , Miklóssy K. , Neumann L. , Paunz Arthur , Rajz E. , Sárközy P. , Tandlich E. , Tóth B.
Füzet:	1903/január, 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások, Körülírt kör középpontja, Magasságpont
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/október: 275. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B C$ háromszög oldalainak középpontját $A_{2}$ -vel, $B_{2}$ -vel és $C_{2}$ -vel.
Minthogy

\begin{matrix} O A_{2} : O A_{1} = 2 : 1 = O B_{2} : O B_{1}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A B ∥ és A_{1} B_{1} = 2 A_{2} B_{2} = A B . \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} B_{1} C_{1} ∥ B C, C_{1} A_{1} ∥ C A \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A B C Δ ≅ A_{1} B_{1} C_{1} Δ . \end{matrix}

Mivel

A_{1} O ⊥ B C, B_{1} O ⊥ A C

és

C_{1} O ⊥ A B

, azért egyszersmind

A_{1} O ⊥ B_{1} C_{1}, B_{1} O ⊥ A_{1} C_{1}

és

C_{1} O ⊥ A_{1} B_{1}

, vagyis

O

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög magassági pontja.

(Paunz Arthur, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Chambreé M., Erdős V., Kovács Gy., Miklóssy K., Neumann L., Rajz E., Sárközy P., Tandlich E., Tóth B.