Kezdőlap


Feladat:	267. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdős V. , Kovács Gy. , Neumann L. , Paunz A. , Sárközy P.
Füzet:	1902/december, 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat, Algebra - Aritmetika
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/október: 267. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a $P = 1 \cdot 2 \cdot 3 ... 9999 \cdot 10000$ szorzatban $5 k$ -szor fordul elő tényezőként, akkor $10$ is $k$ -szor fog előfordulni, mert $5^{k} \cdot 2^{k} = 10^{k}$ . Ennélfogva $P$ annyi nullára végződik, mint a hányszor $5$ tényezőként előfordul.^{$^{*}$} Jelöljük $R (5 a)$ -val azt a számot, mely mutatja, hogy a

\begin{matrix} Q = 1 \cdot 2 \cdot 3 ... (5 a - 1) 5 a \end{matrix}

szorzatban

5

hányszor fordul elő tényezőként. Minthogy

5

absolut prímszám, azért

5

annyiszor fordul elő

Q

-ban tényezőként, mint az

\begin{matrix} (5 \cdot 1) (5 \cdot 2) (5 \cdot 3) ... (5 \cdot a) = 5^{a} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 ... a \end{matrix}

szorzatban, vagyis

\begin{matrix} R (5 a) = a + R (a) . \end{matrix}

Alkalmazzuk e képletet feladatunkra:

\begin{matrix} \begin{matrix} R (10000) & = & R (5 \cdot 2000) & = & 2000 & + & R (2000), \\ R (2000) & = & R (5 \cdot 400) & = & 400 & + & R (400), \\ R (400) & = & R (5 \cdot 80) & = & 80 & + & R (80), \\ R (80) & = & R (5 \cdot 16) & = & 16 & + & R (16) \\ és \\ R (16) & = & 3. \end{matrix} \end{matrix}

Adjuk össze ezen egyenlőségek mindkét oldalát:

\begin{matrix} R (10000) + R (2000) + R (400) + R (80) + R (16) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2000 + 400 + 80 + 16 + 3 + R (2000) + R (400) + R (80) + R (16), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} R (10000) = 2499 \end{matrix}

s így

P